R982. Posé dans RMS129-4.

Existe-t-il une fonction f : R → R telle que les composantes connexes par arcs de R² \ Γ_f soient exactement les ensembles de la forme {x}× ou {x}× ? (Clément de Seguins Pazzis)

La réponse est que de telles fonctions existent, et ce pour de simples raisons de cardinalité. L’idée est qu’il y a assez peu d’arcs non verticaux dans le plan pour pouvoir choisir un point sur chacun et trouver une fonction dont le graphe passe par tous les points choisis.

Appelons en effet arc plan une application continue de [0,1] dans R². Si l’image d’un arc plan n’est pas incluse dans une droite verticale (i.e. d’abscisse constante), on dit que c’est un arc plan non vertical (APNV).

Supposons qu’on ait un point P_γ = (x(γ),y(γ)) sur chaque APNV γ (i.e. un point de son image) et que les x(γ) soient tous différents. Alors il existe une fonction f telle que f(x(γ)) = y(γ) quel que soit γ, autrement dit que le graphe Γ_f de f contienne tous les points P_γ. Par construction, aucun APNV ne peut éviter Γ_f et donc tout arc plan dans ² \ Γ_f est inclus dans une droite verticale.

Il suffit donc juste de bien sélectionner les points P_γ.

Or, une fonction continue de [0,1] dans R² est déterminée par ses images en les points de n’importe quelle partie dense de [0;1], en particulier [0;1] ∩ Q, qui est dénombrable. Le cardinal de l’ensemble des arcs plans, et a fortiori de ceux qui sont non verticaux, ne peut donc dépasser strictement le cardinal des suites à valeurs dans R², qui est également le cardinal de R .

Pour conclure proprement, rappelons que l’ensemble ⁄Q des classes de congruences de réels modulo les rationnels a le même cardinal que , et il existe donc une application injective g de l’ensemble des APNV dans ⁄Q.

Pour chaque APNV γ, on choisit P(γ) de telle sorte que son abscisse ait g(γ) pour classe de congruence modulo Q, ce qui est possible car chacune de ces classes est dense dans et les points sur γ ont des abscisses qui recouvrent tout un intervalle réel non réduit à un point.

Des fonctions ayant la propriété requise existent donc bien, et on peut noter qu’il est possible de les avoir nulles presque partout.

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