[Questions-Reponses]

R917. Soit a un entier strictement positif. On note U_a le polynôme X⁴ -aX - 1. On note α la racine réelle positive de U_a.

Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles α est constructible à la règle et au compas ? (Alain Tissier)

On montrera que si une des racines de U_a est constructible à la règle et au compas alors a = 4. Réciproquement les racines du polynôme X⁴ - 4X - 1 sont constructibles à la règle et au compas ; ce sont ε + εʹ où ε et εʹ prennent les valeurs 1 ou - 1.

L’étude des variations de U_a montre que ses racines sont distinctes ; ce sont deux réels α et β tels que - 1 < β < 0 < 1 < α et des complexes conjugués non réels ω et ω.

On suppose que l’une des racines, z, de U_a est constructible à la règle et au compas. On montre d’abord qu’il existe un entier positif n tel que

(1)

On utilise une propriété classique des polynômes unitaires non constants à coefficients entiers. Soit P un tel polynôme ; tout polynôme unitaire à coefficients rationnels divisant P dans Q[X] est à coefficients entiers. Ainsi P est irréductible dans Q[X] si et seulement si il n’existe pas deux polynômes unitaires à coefficients entiers non constants dont P est le produit.

Montrons d’abord que U_a est irréductible dans Q[X]. Comme U_a est unitaire à coefficients entiers, il suffit de prouver qu’il n’existe pas A et B unitaires non constants à coefficients entiers tels que AB = U_a .

⊳ Supposons U_a = (X + t)(X³ + uX² + vX + w) où t,u,v,w sont entiers, alors tw = 1 ; t = ±1 ; ceci impose 1 ou - 1 comme racine de U_a, ce qui n’est pas.

⊳ Supposons U_a = (X² + tX + u)(X² + vX + w) où t,u,v,w sont entiers, alors v = -t ; uw = -1 donc u = ±1 et w = -u ; w + u + tv = 0 donc t² = 0 et t = 0 ; finalement U_a = X⁴ - 1, ce qui n’est pas puisque a n’est pas nul.

Soit des corps K₁ ,K₂,K₃ tels que K₁ ⊂ K₂ ⊂ K₃ ; on note classiquement (K₂ : K₁) la dimension de K₂ en tant qu’espace vectoriel sur K₁. On utilisera plusieurs fois :

Comme U_a est irréductible sur Q, il est le polynôme minimal de z sur Q, donc le corps Q(z) vérifie : (Q (z) : Q) = 4. Comme z est constructible à la règle et au compas, il existe une chaîne croissante de sous-corps de C : K₀ = Q ⊂ K₁ ⊂ K₂ ⊂⊂ K_m telle que

Par récurrence facile (K_j : Q) = 2^j.

Nécessairement K_m = K_m-1(z). Le polynôme minimal unitaire V de z sur K_m-1 est un diviseur de U_a dans K_m-1 et il est de degré deux. Donc V = X² + tX + u où t et u sont des éléments de K_m-1 . Dans K_m-1[X], U_a se décompose : U_a = V W où, après identification, W = X² - tX -.

De plus :

on en tire :

puis :

Les formules précédentes montrent que V est à coefficients dans le corps Q(t). De plus z n’est pas dans K_m-1  ; V est donc le polynôme minimal de z sur Q(t).

Le polynôme minimal unitaire de t sur Q est un diviseur Q de P = X⁶ + 4X² -a². Le degré de Q est (Q (t) : Q ). D’autre part Q(t) est un sous-corps de K_m-1 ; comme

(Q (t) : Q ) est une puissance de 2 au plus égale à 6. Le degré de Q est donc 1, 2 ou 4. Donc P est réductible sur Q .

Montrons d’abord que P n’a aucune racine entière. Raisonnons par l’absurde. Soit un entier b tel que P(b) = 0 ; clairement b n’est pas nul et comme b est pair, on peut supposer b > 0. Alors (b⁴ + 4)b² = a²  ; donc b divise a ; ainsi a = bc où c N^* ; puis

Ainsi P n’a aucun facteur irréductible de degré un.

Si Q est de degré quatre alors le quotient de P par Q est un facteur irréductible de degré deux. Donc P possède un facteur irréductible R de degré deux, R = X² + bX + c où b et c sont entiers. Si b = 0 alors l’entier n = -c vérifie (). Sinon R(-X) = X² - bX + c est un autre facteur irréductible de P (puisque P est pair) et P(X) = R(X)R(-X)S(X) où S(X) = X² + d, d entier. L’entier n = -d vérifie ().

On vient d’établir que si l’une des racines de U_a est constructible alors il existe un entier n vérifiant ().

Montrons à présent que () ne peut être satisfaite que si a = 4, n étant alors égal à 2.

Soit n un entier vérifiant (). D’abord n n’est pas un carré car on a vu que P n’a pas de racine entière. Le PGCD de n et de n² + 4 est 1, 2 ou 4.

⊳ Si ce PGCD est 1 alors n et n² + 4 sont premiers entre eux et leur produit est un carré, donc ce sont tous deux des carrés ; impossible car n n’est pas un carré.

⊳ Si ce PGCD est 4 alors n = 4nʹ pour un certain entier nʹ > 0 et a = 4aʹ pour un certain aʹ > 0 ; puis nʹ(1 + 4nʹ² ) = aʹ² ; nʹ et 1 + 4nʹ² sont premiers entre eux ; nʹ est un carré et n aussi ; impossible.

Donc le PGCD de n et de n² + 4 est 2. Il en résulte que n = 2q où q est un entier impair et que a = 4b où b est entier. L’équation () devient :

Les entiers q et (q² + 1)⁄2 sont premiers entre eux et sont des carrés :

Finalement il existe des entiers r et s tels que

On va montrer à présent que l’équation

(2)

n’a pas d’autre solution dans N² que r = 1 et s = 1. Si (r,s) est solution de () alors

donc (r⁴ - 1)² est pair. Posons t =  ; alors t, r et s vérifient

(3)

La preuve sera complète quand on aura montré que () n’est satisfaite par aucun triplet d’entiers naturels tous non nuls.

On raisonne par l’absurde en considérant une solution (s,r,t) telle que s est minimal ; nécessairement (s,r,t) sont deux à deux premiers entre eux. On a : (r²)² + t² = (s²)² ; ainsi (r² , t, s² ) est un triangle pythagoricien.

1.

si r est pair (donc t est impair). On sait qu’il existe u,v N^*, u pair et v impair tels que

u ∧ v = 1 et r² = 2uv, t = ε(u² - v²), s² = u² + v², où ε = ±1.

Comme s² = u² + v², il existe x,y N^* de parités différentes tels que x ∧ y = 1 et u = 2xy, v = x² - y², s = x² + y². Alors

r² = 2uv = 4xy(x² - y²), donc ² = xy(x² - y²).

Comme x et y sont premiers entre eux, x∧ (x² -y²) = 1 et y ∧ (x² -y²) = 1, donc x,y et x² - y² sont des carrés parfaits. Il existe donc λ,μ,ν N^* tels que :

x = λ² , y = μ² et x² - y² = ν².

Alors ν² = λ⁴ - μ⁴. Le triplet (μ,λ,ν) ³ est solution de (). De plus on a λ⁴ = x² < x² + y² = s ≤ s⁴, d’où λ < s , ce qui contredit le caractère minimal de s.

2.

si r est impair (donc t est pair). Il existe u,v N^* tels que : r² = u² - v² , t = 2uv et s² = u² + v². Alors ² = u⁴ - v⁴. Le triplet (v,u,rs) ³ est une solution de () vérifiant u² < u² + v² = s², donc u < s, ce qui contredit le caractère minimal de v.

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