[Questions-Reponses]

R827. Posé dans 124 3.

Pour tous entiers p et q tels que 0 < p < q, on pose

Trouver la borne inférieure de M(p,q). (Daniel Saada)

On va montrer :

en procédant en trois étapes :

1.

On calcule de façon explicite M(1,2).

2.

Lorsque (p,q)≠(1,2), et q ≥ 3p on exhibe un réel y_p,q tel que |sin(py_p,q) - sin(qy_p,q )| > M(1,2).

3.

De façon générale, lorsque (p,q)≠(1,2), on montre qu’il existe un réel y_p,q (sans le trouver explicitement) tel que |sin(py_p,q) - sin(qy_p,q)| > M(1,2),

On aurait pu raccourcir et passer directement à l’étape 3, mais il est instructif de voir les différentes approches. Pour paraphraser Jean Dieudonné, on pourrait résumer en trois mots : majorer, minorer, approcher.

De plus, cela nous permet d’établir des résultats asymptotiques pour M(p,q).

Quelques remarques et notations

• Pour tous entiers p et q tels que 0 < p < q, on a M(p,q) ≤ 2.
• Si p, q sont impairs et différents modulo 4, on a M(p,q) = 2. En effet, il suffit de prendre x = π⁄2.
• Pour tout tout entier k > 0, on a M(kp,kq) = M(p,q), on peut donc se borner au cas où p et q sont premiers entre eux.
• On pose f_p,q(x) := sin(px) - sin(qx) = 2sincos.
• Pour tout x réel, on note ⌈x⌉ la partie entière par excès définie par : ⌈x⌉- 1 < x ≤ ⌈x⌉.

  On note {x} la partie fractionnaire de x, définie par : {x} = x -⌊x⌋, où ⌊x⌋ est la partie entière de x.

Calcul de M(1, 2)

Soit x tel que M(1,2) = |sin(x) - sin(2x)|, alors f_1,2ʹ(x) = 0. Donc x est solution de l’équation :

dont les solutions sur [0,π] sont x₁ = arccos et x₂ = arccos.

On a : 4f(x) = ²(4sin²x). Pour x , on obtient après réduction, compte tenu de 4 cos ² x = cosx + 2 et 4sin²x = 2 - cosx,

Sachant que cos est strictement décroissante sur ,

Minoration des M(1, q) pour q > 2

Lorsque q = 3 on a M(1,q) = 2.

Si q = 4 on peut utiliser la formule cos(4x) = 8cos⁴x - 8cos²x + 1, puis résoudre par radicaux l’équation r⁴ - r² -r + = 0. Elle possède quatre solutions réelles distinctes. L’une d’entre elles ( ≈ 0.3616746) réalise le maximum de |f_1,4|. L’expression par radicaux prend plusieurs lignes et on ne l’écrit pas ici. Un calcul approché fournit M(1, 4) ≈ 1, 92818.

Lorsque q > 4, on ne peut plus utiliser la méthode précédente pour calculer explicitement M(1, q) car on doit exprimer par radicaux les racines de polynômes de degré q, ce qui peut être impossible lorsque q > 4. Procédons donc à présent sans le calcul explicite de M(1, q).

Soit q > 2 un entier. Notons

On a donc ≤ < . Or, pour tout entier q > 4 on a

Ainsi ≤ x_q ≤ . On vérifie que cette inégalité s’étend pour q = 3 et q = 4, ce qui sera utile par la suite. De plus, par construction,

D’où

Donc M(1, q) > M(1,2), pour tout entier q > 2.

Remarque. On voit que lim_q→+∞x_q = , donc lim_q→+∞M(1,q) = 2.

Minoration des M(p, q) pour q > p > 1

Soient q > p > 1 des entiers. Si q = 2p, on a M(p,q) = M(1,2). On aimerait procéder de façon similaire en posant

On a de nouveau, par construction, sin(qy_p,q) = -1. De plus ≤ py_p,q ≤, si q ≥ 3p. D’où

L’encadrement obtenu pour py_p,q vaut encore si q ≥ 2,143, mais cela ne suffit pas pour conclure.

Remarque. Si p est fixé, on a lim_q→+∞py_p,q = , donc lim_q→+∞M(p,q) = 2.

Notons g la fonction ≪ modulo 2π ≫, définie sur R par g(x) = 2π. Comme on l’a remarqué en introduction, on peut supposer sans perte de généralité que p et q sont premiers entre eux. Pour tout entier k naturel, on note z_k = g. Il suffit de montrer l’existence d’un k tel que |f_p,q (z_k )| > M(1,2).

Or, on a de nouveau construit z_k tel que sin(qz_k) = -1. La suite _kN est périodique de période exactement q. De plus, les points exp(ipz_k)_1≤k≤q se répartissent de façon équidistante sur le cercle unité.

Donc, lorsque q ≥ 5, d’après le principe des tiroirs, au moins un de ces points est sur l’arc du cercle unité

d’où l’on tire comme ci-dessus que f_p,q(z_k) = 1 + sin(pz_k) > M(1,2).

Il ne reste plus que deux cas particuliers à traiter.

• Si (p, q) = (3,4) :

  On prend z₂ = , ainsi f_3,4(z₂) = sin + 1 ≈ 1,92388 > M(1,2).

• Si (p, q) = (2,3) :

  On prend z₂ = , ainsi f_3,4(z₂) = sin + 1 ≈ 1,86603 > M(1,2).

On a ainsi prouvé le résultat annoncé.
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