a) Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C. Déterminer ses éléments inversibles.
b) Si x et y sont deux éléments de Z[i] et x≠0, montrer qu’il existe (q,r) Z[i]2 tel que y = qx + r et N(r) < N(x). En déduire que les idéaux de Z[i] sont principaux.
c) Pour n et k dans N*, soit sn,k = xk. Montrer que sn,k Z[i].
a) On vérifie que Z[i] est un sous-anneau de C. La stabilité par produit mérite seule d’être écrite :
On constate que, si a + ib est inversible, d’inverse c + id, alors, par multiplicativité du module, (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = 1 et, comme il y a là un produit de deux entiers naturels, a2 + b2 = 1, ce qui conduit aux quatre éléments 1, - 1, i, - i qui sont effectivement des inversibles de Z[i].
b) Posons x = a + ib et y = c + id. Soit z = C, que l’on écrit u + vi. Si α est l’entier le plus proche de u et β l’entier le plus proche de v, alors |u - α|≤ et |v - β|≤, de sorte que N(z - (α + βi)) = (u - α)2 + (v - β)2 ≤ < 1. Posons q := α + βi Z[i]. On a donc = z = q + rʹ, avec N(rʹ) < 1. Multipliant par x, on obtient
Si I est un idéal de Z[i], que l’on peut sans restriction supposer non nul, l’image par N de I -{0} est formée d’éléments de N* et est non vide. Soit x I -{0} tel que N(x) soit le plus petit élément de cette image. Montrons que I = xZ[i]. Déjà, xZ[i] ⊂ I, puisque x I et I est un idéal. D’un autre côté, soit y I. On peut écrire y = qx + r avec N(r) < N(x). Comme y - qx I, r I et, comme N(r) < N(x), r = 0.
c) Soit An l’ensemble des éléments x de Z[i] tels que N(x) = n. On peut le partitionner selon la relation d’équivalence définie par x ~ y si et seulement si y Gx, où G est le groupe des éléments inversibles de Z[i]. Par suite, si l’on note C l’ensemble des classes de cette relation d’équivalence,
Il suffit de montrer que xk 4Z[i]. Si a est un élément de c, c = {a,-a,ia,-ia} et donc
On calcule S := 1 + (-1)k + ik + (-i)k selon les valeurs de k modulo 4 :
Ainsi, xk 4Z[i].
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