10. On note Z [i] = {a + ib;(a,b) ∈ Z2}. Pour z ∈ Z[i], soit N(z) = |z|2.

a) Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C. Déterminer ses éléments inversibles.

b) Si x et y sont deux éléments de Z[i] et x0, montrer qu’il existe (q,r) ∈ Z[i]2 tel que y = qx + r et N(r) < N(x). En déduire que les idéaux de Z[i] sont principaux.

c) Pour n et k dans N*, soit sn,k = 1
4 ∑

xN∈(xZ)[i=]nxk. Montrer que sn,k ∈ Z[i].

a) On vérifie que Z[i] est un sous-anneau de C. La stabilité par produit mérite seule d’être écrite :

(a + ib)(c + id) = (ac - bd)+ (ad+ bc)i.

On constate que, si a + ib est inversible, d’inverse c + id, alors, par multiplicativité du module, (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = 1 et, comme il y a là un produit de deux entiers naturels, a2 + b2 = 1, ce qui conduit aux quatre éléments 1, - 1, i, - i qui sont effectivement des inversibles de Z[i].

b) Posons x = a + ib et y = c + id. Soit z = y
x ∈ C, que l’on écrit u + vi. Si α est l’entier le plus proche de u et β l’entier le plus proche de v, alors |u - α|1
2 et |v - β|1
2, de sorte que N(z - (α + βi)) = (u - α)2 + (v - β)2 1
2 < 1. Posons q := α + βi ∈ Z[i]. On a donc y
x= z = q + rʹ, avec N(rʹ) < 1. Multipliant par x, on obtient

y = qx + r
avec r := xrʹ, donc N(r) < N(x) par multiplicativité de N.

Si I est un idéal de Z[i], que l’on peut sans restriction supposer non nul, l’image par N de I -{0} est formée d’éléments de N* et est non vide. Soit x ∈ I -{0} tel que N(x) soit le plus petit élément de cette image. Montrons que I = xZ[i]. Déjà, xZ[i] I, puisque x ∈ I et I est un idéal. D’un autre côté, soit y ∈ I. On peut écrire y = qx + r avec N(r) < N(x). Comme y - qx ∈ I, r ∈ I et, comme N(r) < N(x), r = 0.

c) Soit An l’ensemble des éléments x de Z[i] tels que N(x) = n. On peut le partitionner selon la relation d’équivalence définie par x ~ y si et seulement si y ∈ Gx, où G est le groupe des éléments inversibles de Z[i]. Par suite, si l’on note C l’ensemble des classes de cette relation d’équivalence,

 ∑   xk = ∑ ∑  xk.
x∈A      c∈Cx∈c
   n

Il suffit de montrer que ∑x∈cxk ∈ 4Z[i]. Si a est un élément de c, c = {a,-a,ia,-ia} et donc

∑  xk = ak(1 + (- 1)k + ik + (- i)k).
x∈c

On calcule S := 1 + (-1)k + ik + (-i)k selon les valeurs de k modulo 4 :

k ≡ 0mod 4 ⇒ S = 4 ; k ⁄≡ 0 mod 4 ⇒ S = 0.

Ainsi, ∑x∈cxk ∈ 4Z[i].
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