R789. Posé dans RMS 123 3

a) On note _n le groupe alterné d’indice n. Montrer que la probabilité pour que deux éléments de _n (choisis au hasard) engendrent _n tend vers 1 quand n tend vers + ∞.

b) Trouver d’autres suites de groupes classiques possédant la même propriété. (ric Pité)

Flavien Mabilat indique que la question a) est en fait un théorème de John D. Dixon démontré en 1969 dans l’article ≪ The probability of generating the symmetric group ≫, Math.Z.110 (1969) 199-205.

La preuve peut également se trouver dans l’ouvrage ≪ Probabilistic Group Theory, Combinatorics, and Computing : Lectures from the Fifth de Brn Workshop ≫ sous la direction de Alla Detinko, Dane Flannery et Eamonn O’Brien aux édition Springer ; le résultat constitue le théorème 1.1.

Cet ouvrage contient également des éléments de réponse pour b), c’est-à-dire des éléments de preuve de la conjecture de John D.Dixon sur la généralisation de a) aux groupes simples. Tout ceci est néanmoins très difficile et se trouve aux débuts du livre (pages 1 à 8).
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