[Questions-Reponses]
R760. Posé dans RMS 122 4
Soit K un corps commutatif et A un élément de 
n(K). Existe-t-il P dans GLn(K) telle que
tA = t PAP ?
(ric Pité)
Commentaire de la RMS
La réponse est OUI.
Flavien Mabilat signale que l’article de Dragomir Z. okovic et Khakim D. Ikramov (2002),
≪A square matrix is congruent to its transpose, Journal of Algebra, 257(1) : 97-105. ≫,
disponible en archive ouverte sur le site du Journal of Algebra, répond entièrement à la
question.
Ainsi, pour n’importe quel corps de base, toute matrice carrée est congruente à sa transposée. On peut rapprocher cette propriété de la similitude entre une matrice carrée et sa transposée. Dans les deux cas la preuve est fondée sur une réduction sous forme canonique des formes bilinéaires sur un espace vectoriel. La dite forme canonique est sensiblement plus compliquée pour la congruence que pour la similitude, même si, étonnamment, la partie dégénérée se présente sous forme de Jordan.