[Questions-Reponses]

R715. Posé dans RMS 121 3.

Dans l’exercice d’oral corrigé 6 (RMS 113 4), on étudie les morphismes de GLn(K) dans un groupe abélien fini.

On propose des variantes :

a) Quels sont les morphismes de groupes de GLn(C) dans un groupe fini ? dans le groupe multiplicatif d’une extension finie de Q ? dans GLn(Q) ?

b) Quels sont les morphismes de groupes de Q dans GLn(C) ? dans GLn(Q) ? (Omar Sonebi)

Réponse de Philippe Bonnet

On dira qu’un morphisme de groupes φ : G-→Gʹ est trivial si Im(φ) = {eʹ}, où eʹ est l’élément neutre de Gʹ. Dans le premier paragraphe, on montre :

Théorème 1.Tout morphisme de GLn(C) dans un groupe de la forme G× Zr, où G est un groupe fini et r ∈ N, est trivial. En particulier, tout morphisme de GLn(C) dans un groupe fini est trivial. De plus, tout morphisme de GLn(C) dans le groupe des inversibles d’une extension finie de Q est trivial.

Dans le deuxième paragraphe, on établit les deux résultats suivants :

Théorème 2.Les morphismes de GLn(C) dans GLn(Q) sont exactement les applications φ : GL n (C )-→ GLn(Q) de la forme :

( r [ ( ) ] ) φ:A↦- → exp ∑ αi(ln |detA |)+ βi -1-arg (detA ) Ni , i=1 2π
où N1 , … , Nr sont des matrices nilpotentes de Mn(Q) qui commutent deux à deux et où α1 , … , αr , β1 , … , βr sont des formes linéaires sur le Q-espace vectoriel R, telles que β1,…,βr soient nulles sur le Q-sous-espace vectoriel Q de R.

Théorème 3.Les morphismes de (Q,+) dans GLn(Q) sont exactement les applications φ : Q -→ GL n (Q), z↦-→ezN, où N est une matrice nilpotente de Mn(Q).

Enfin, on va terminer avec la classification des morphismes de Q dans GLn(C). Pour ce faire, on aura besoin de décrire les morphismes de (Q,+) dans (C*,×).

Définition 1.Une suite (xn)n≥1 de (C*)N est admissible si : ∀n ∈ N*, (xn+1)n+1 = xn.

En d’autres termes, une suite est admissible si le terme d’ordre n de la suite est une racine n-ième du précédent. On va se servir de ces suites pour construire tous les morphismes de (Q,+) dans (C * , ×). Plus précisément, on montre dans le deuxième paragraphe :

Proposition 1.Soit (xn)n≥1 une suite admissible de (C*)N. Alors, pour tout z ∈ Q, la suite ((xk )⌊k!z⌋ )k≥1 est stationnaire. De plus, l’application φ(xn) : Q-→C* définie par :

⌊k!z⌋ ∀z ∈ Q, φ(xn)(z) = kl→im+ ∞(xk)
est un morphisme de (Q,+) dans (C*,×). En outre, les morphismes de (Q,+) dans (C*,×) sont exactement les applications de la forme φ(xn), où (xn)n≥1 est une suite admissible.

Partant de là, on démontre dans le deuxième paragraphe le résultat suivant :

Théorème 4.Les morphismes de (Q,+) dans GLn(C) sont exactement les applications de la forme :

( ) λ1(z)ezN1 (0) φ : z ↦-→ P |( ... |) P- 1, (0) λ (z)ezNr r
où λ1 , … , λr sont des morphismes de (Q,+) dans (C*,×), où n1,…,nr sont des entiers ≥ 1 fixés tels que n1 + ⋅⋅⋅ + nr = n, où N1,…,Nr sont des matrices nilpotentes fixées de Mn1 (C ), … , Mnr (C) et où P ∈ GLn(C).

Démonstration du premier théorème

Pour cette démonstration, on aura besoin de quelques connaissances d’Algèbre Commutative, que l’on pourra trouver soit dans le cours d’Algèbre de Perrin, soit dans l’Algèbre Commutative de Malliavin. Rappelons qu’un groupe G (noté multiplicativement) est divisible si, pour tout m ∈ N* et pour tout x ∈ G, l’équation ym = x admet toujours au moins une solution dans G. En particulier, les groupes (C * , ×) et (Q,+) sont divisibles, alors que (Z,+) ne l’est pas. Commençons par un lemme :

Lemme 1.Soit φ un morphisme de GLn(C) dans un groupe Gʹ au plus dénombrable. Alors on a SL n (C ) ⊂ Ker(φ). En particulier, si det : GLn(C)-→C* est le morphisme donné par le déterminant, il existe un morphisme ψ : C*-→Gʹ tel que φ = ψ • det.

Démonstration.Soit φ un morphisme de GLn(C) dans un groupe Gʹ au plus dénombrable. Pour tout t ∈ R , on pose :

( ) 1 0 ... ... 0 ||0 ... ... ...|| || . . . || A (t) = || .. .. .. 0 0|| . |( ... ... ... t|) 0 ... ... 0 1
Par construction, on voit que A(t)A(-tʹ) = A(t - tʹ) pour tous (t,tʹ) ∈ R2, et donc A définit un morphisme de (R,+) dans GLn(C). Par composition, l’application φ • A est un morphisme de (R ,+) dans Gʹ. Comme Gʹ est au plus dénombrable et que R ne l’est pas, cette application n’est pas injective, et donc Ker(φ • A) ⁄= {0}. Dès lors, il existe un réel t ⁄= 0 tel que φ • A(t) = eʹ, et donc le noyau de φ contient la transvection A(t) (qui est distincte de l’identité car t ⁄= 0). Comme toutes les transvections de GLn(C) sont semblables entre elles et que Ker (φ) est un sous-groupe distingué de GLn(C), Ker(φ) contient toutes les transvections de GLn(C). Mais comme le sous-groupe SLn(C) est engendré par les transvections, il s’ensuit que SLn(C) ⊂ Ker(φ). Dès lors, le morphisme φ induit par passage au quotient un morphisme :
ʹ ψ0 : GLn (C)⁄SLn (C) - → G .
Comme l’application φ0 : GLn(C)⁄SLn(C)-→C*,A↦-→det(A) est un isomorphisme, on en déduit que φ = ψ • det, où ψ est le morphisme donné par ψ = ψ0 • φ-01. __

Démonstration du théorème

On commence par en montrer la première assertion. Soit φ un morphisme de GLn(C) dans un groupe de la forme Gʹ = G× Zr, où G est un groupe fini et r ∈ N. D’après le lemme , il existe un morphisme ψ : C *-→Gʹ tel que φ = ψ • det. Dès lors, pour montrer que φ est trivial, il suffit de montrer que tout morphisme ψ de C* dans le groupe Gʹ est trivial. Pour ce faire, considérons un élément x de Im (ψ), de la forme x = (g,n1,…,nr) ∈ G× Zr. Alors il existe un élément y de C* tel que x = ψ(y). Comme (C*,×) est divisible, il existe pour tout m ∈ N* un élément ym de C* tel que ym m = y. Si l’on pose ψ(ym) = (hm,αm,1,…,αm,r) ∈ G × Zr, alors on a pour tout m ∈ N *  :

(g,n1,...,nr) = x = ψ (y) = ψ(ymm) = (ψ(ym ))m = (hmm,m αm,1,...,m αm,r).
En particulier, l’entier ni vérifie la relation ni = mαm,i pour tout i ∈ [[1,r]]. Comme ceci est vrai pour tout m ∈ N * , il s’ensuit que n1 = ⋅⋅⋅ = nr = 0. De plus, si m = card(G) et si e est l’élément neutre de G, alors on sait d’après le théorème de Lagrange que hmm = e car hm ∈ G, et donc :
m m x=(g,0,...,0) = (ψ(ym)) = (hm, 0,...,0) = (e,0,...,0).
En d’autres termes, x est égal à l’élément neutre du groupe G × Zr. Comme ceci est vrai pour tout x ∈ Im (ψ), le morphisme ψ est trivial, d’où la première assertion.

Montrons à présent la deuxième assertion du théorème . Soit L⁄Q une extension finie et soit φ un morphisme de GLn(C) dans le groupe L* des inversibles de L⁄Q. Comme l’extension L⁄Q est finie, L est un Q-espace vectoriel de dimension finie. En particulier, comme Q est dénombrable, l’ensemble L est dénombrable, et donc L* l’est aussi. D’après le lemme , il existe un morphisme ψ : C*-→L* tel que φ = ψ • det. Dès lors, pour montrer que φ est trivial, il suffit de montrer que tout morphisme ψ de C* dans L* l’est.

Pour ce faire, fixons un morphisme ψ de C* dans L* et un élément x de Im(ψ). Soit A l’anneau des entiers sur L, c’est-à-dire l’ensemble des éléments xʹ de L qui vérifient une équation de la forme (xʹ)n + an-1(xʹ)n-1 + ⋅⋅⋅ + a0 = 0, où n ∈ N* et an-1,…,a0 ∈ Z. Alors on sait par des résultats classiques d’Algèbre Commutative que A est un anneau de Dedekind. En particulier, l’anneau localisé AP est un anneau de valuation discrète pour tout idéal maximal P de A. Pour tout idéal maximal P de A, notons vp la valuation associée sur L. Comme x appartient à Im(ψ), il existe un élément y de C* tel que x = ψ(y). Comme (C*,×) est divisible, il existe pour tout m ∈ N * un élément ym de C* tel que ymm = y. En termes de valuations, ceci nous donne que :

m m vP(x)= vP(ψ(y)) = vp(ψ(ym )) = vP((ψ (ym )) ) = mvP (ψ(ym)).
En particulier, l’entier vP(x) est divisible par tout entier m ∈ N*, et donc vP(x) = 0. Dès lors, les éléments x et 1x appartiennent à AP car AP est de valuation discrète. Comme A est égal à l’intersection des localisés AP lorsque P parcourt l’ensemble des idéaux maximaux de A, il s’ensuit que x et 1x appartiennent tous deux à A. En particulier, x est inversible dans l’anneau A. Comme ceci est vrai pour tout x ∈ Im(ψ), il s’ensuit que Im(ψ) est contenue dans le groupe U(A) des inversibles de l’anneau A, que l’on appelle communément le groupe des unités de A. Dès lors, on peut considérer que ψ est un morphisme de C* dans U(A). Or on sait d’après le théorème des unités de Dirichlet que U(A) est isomorphe à un groupe de la forme G × Zr, où G est fini et r ∈ N. Dès lors, il s’ensuit d’après la première assertion du théorème que le morphisme ψ est trivial, et donc φ l’est aussi, d’où le résultat. □

Démonstration des autres théorèmes

Passons maintenant aux morphismes de GLn(C) dans GLn(Q), de (Q,+) dans GLn(Q) et de (Q , +) dans GL n(C). Pour ce faire, on commence par établir quelques lemmes :

Lemme 2.Les morphismes de (C*,×) dans (Q,+) sont exactement les applications φ de C*dans Q de la forme :

( 1 ) φ : z ↦-→ α(ln |z|)+ β 2π-arg (z) ,
où α, β sont des formes linéaires sur le Q-espace vectoriel R, telles que β est nulle sur le Q-sous-espace vectoriel Q de R.

Démonstration.Commençons par montrer que toute application φ de la forme donnée plus haut est un morphisme bien défini de C* dans Q. Pour ce faire, fixons des formes linéaires α, β sur le Q -espace vectoriel R, telles que β soit nulle sur le Q-sous-espace vectoriel Q de R. Comme le module est un morphisme de (C*,×) dans (R*+,×), que la fonction ln est un morphisme de (R *+,×) dans (R,+) et que α est un morphisme de (R,+) dans (Q,+) (vu que c’est une forme Q-linéaire), on obtient par composition que l’application z↦-→α(ln|z|) est un morphisme de (C*,×) dans (Q,+). De plus, d’après les propriétés de l’argument d’un nombre complexe non nul, on voit que l’application z↦-→ 1 2π arg(z) est un morphisme bien défini de (C *,×) dans (R⁄Z,+). Mais comme β est une forme linéaire sur le Q-espace vectoriel R qui s’annule sur Q, β est un morphisme de (R,+) dans (Q,+) qui s’annule sur Z, et donc on trouve par composition que l’application z↦-→β(1 2π arg(z)) est un morphisme bien défini de (C *,×) dans (Q,+). Par addition, il s’ensuit que φ est bien un morphisme bien défini de (C *,×) dans (Q,+).

Réciproquement, montrons que tout morphisme φ de (C*,×) dans (Q,+) doit être de cette forme. Pour tout y ∈ R, on note ^y sa classe dans R⁄Z. Avec les propriétés du module, de l’argument et du logarithme, on vérifie facilement que l’application :

({ C * -→ R× R ⁄Z ψ1 : ( 1 ) ( z ↦-→ ln|z|,2π arg(z)
est bien définie et est un isomorphisme de groupes. Si l’on pose φ1 = φ • ψ-11, alors on constate que φ = φ1 •ψ1 et que φ1 est un morphisme de (R × R⁄Z,+) dans (Q,+). Si l’on pose α(x) = φ1 (x,0) et β(y) = φ1(0,^y ) pour tout (x,y) ∈ R2, alors on vérifie facilement que α et β sont des morphismes bien définis de (R,+) dans (Q,+). De plus, comme φ1 est un morphisme de (R × R⁄Z,+) dans (Q,+), on a pour tout (x,y^ ) ∈ R × R⁄Z (si y désigne un représentant de ^y ) :
φ1(x,^y) = φ1((x,0)+ (0,^y)) = φ1(x,0)+ φ1(0,^y) = α(x)+ β(y).
En particulier, on obtient avec la relation φ = φ1 • ψ1 que, pour tout z ∈ C* :
( ) 1 ( 1 ) φ(z)=φ1(ψ1(z)) = φ1 ln |z|,2π arg(z) = α(ln|z|)+ β 2π-arg(z) ,
ce qui est exactement l’expression annoncée dans le lemme. noter que, comme α et β sont des morphismes de (R,+) dans (Q,+), on vérifie facilement que α et β sont Q-linéaires, et donc α et β sont des formes linéaires sur le Q-espace vectoriel R. De plus, comme φ1 est un morphisme de groupes, on a :
β (1) = φ1(0,^1) = φ1(0,^0) = 0.
En particulier, la forme linéaire β s’annule sur le Q-sous-espace vectoriel de R engendré par 1, c’est-à-dire sur Q, d’où le résultat. __

Lemme 3.Soient l1,…lr des morphismes de (C*,×) dans (Q,+) et soient N1,…,Nr des matrices nilpotentes de Mn(Q) qui commutent deux à deux. Alors l’application :

ψ : A ↦-→ exp (ℓ1(det(A ))N1 + ⋅⋅⋅+ℓr(det(A ))Nr)
est un morphisme de GLn(C) dans GLn(Q).

Démonstration.Soient l1,…lr des morphismes de (C*,×) dans (Q,+), soient N1,…,Nr des matrices nilpotentes de Mn(Q) qui commutent deux à deux et considérons l’application ψ1 de C * dans Mn (C) donnée par :

ψ1 : z ↦-→ exp(ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr ).
Comme N1 , … , Nr sont nilpotentes, qu’elles commutent deux à deux et que les applications l1 , … lr sont à valeurs dans Q, il est facile de vérifier que l1(z)N1 + ⋅⋅⋅ + lr(z)Nr est une matrice nilpotente de Mn(Q) pour tout z ∈ C*. En particulier, son exponentielle ne compte qu’un nombre fini de termes, et donc ψ1(z) appartient bien à GLn(Q) pour tout z ∈ C*. De plus, comme N1 ,…,Nr commutent deux à deux, les matrices l1(z)N1 + ⋅⋅⋅ + lr(z)Nr et l1 (zʹ)N1 +⋅⋅⋅ +lr(zʹ)Nr commutent pour tous z,zʹ∈ C*. Comme les applications l1,…,lr sont des morphismes de C* dans Q, il s’ensuit que, pour tous z,zʹ∈ C* :
ψ(zʹz-1)=exp (ℓ (zʹz-1)N + ⋅⋅⋅+ ℓ (zʹz-1)N ) 1 1 1 r r =exp ((ℓ (zʹ)- ℓ (z))N + ⋅⋅⋅+ (ℓ(zʹ)- ℓ(z))N ) 1 1 1 r r r =exp ((ℓ (zʹ)N + ⋅⋅⋅+ ℓ (zʹ)N )- (ℓ(z)N + ⋅⋅⋅+ ℓ (z)N )) 1 1 r r 1 1 r r =exp ((ℓ (zʹ)N + ⋅⋅⋅+ ℓ (zʹ)N ))exp(- (ℓ (z)N + ⋅⋅⋅+ ℓ(z)N )) 1 1 r r 1 1 r r ʹ ʹ -1 =exp ((ℓ1(z )N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z )Nr))(exp (ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr)) ʹ - 1 =ψ1(z )(ψ1(z)) .
Par conséquent, l’application ψ1 est bien un morphisme de (C*,×) dans GLn(Q). Par composition avec le morphisme donné par le déterminant, on en déduit que ψ est un morphisme de GL n (C ) dans GLn(Q), d’où le résultat. __

Lemme 4.Soit ψ un morphisme de (C*,×) dans GLn(Q). Alors ψ(z) est une matrice unipotente de GLn(Q) pour tout z ∈ C*, c’est-à-dire : Sp(ψ(z)) = {1}.

Démonstration.Fixons un morphisme ψ de C* dans GLn(Q) ; notons Q la clôture algébrique de Q et posons G = Im(ψ). Comme (C*,×) est commutatif, le groupe G est un sous-groupe commutatif de GLn(Q), et donc aussi de GLn(Q). Comme Q est algébriquement clos, tous les éléments de G sont cotrigonalisables dans une même base de Qn. Dès lors, il existe une matrice P = (pi,j) ∈ GLn(Q) telle que toutes les matrices de la forme P-1 AP, où A appartient à G, sont triangulaires supérieures. Posons alors :

L = Q[p1,1,...,p1,n,...,pn,1,...,pn,n].
Comme tous les pi,j appartiennent à Q, on voit que l’extension L⁄Q s’obtient à partir de Qpar adjonction d’un nombre fini d’éléments algébriques sur Q, et donc cette extension est finie. Comme GLn(L) est évidemment stable par produit et que toute matrice de G appartient à GL n (Q), et donc à GLn(L), il s’ensuit que l’application ψ0 : z↦-→P-1ψ(z)P est à valeurs dans l’ensemble Tn(L) des matrices triangulaires supérieures de taille n et à coefficients dans L. noter que ψ0 est bien un morphisme comme composée du morphisme ψ et d’un automorphisme intérieur de GLn(L). De plus, il est de la forme :
(λ1(z) * ... * ) | .. .. .. | ψ0 : z ↦-→ || 0 . . . || . |( ... ... ... * |) 0 ... 0 λn (z)
Partant de la relation ψ0(zʹz-1) = ψ0(zʹ)(ψ0(z))-1, il vient λi(zʹz-1) = λi(zʹ)(λi(z))-1 pour tout i ∈ [[1, n]] et pour tous z,zʹ∈ C*. En particulier, chaque λi est un morphisme de C*dans L* . Comme L⁄Q est une extension finie, il s’ensuit d’après le théorème que tous les morphismes λi sont triviaux. En particulier, la matrice ψ0(z) n’a que des 1 sur sa diagonale, et donc elle est unipotente pour tout z ∈ C*. Par similitude, la matrice ψ(z) est unipotente pour tout z ∈ C * . __

Démonstration du théorème

D’après les lemmes et , on voit que, si N1,…,Nr sont des matrices nilpotentes de Mn(Q) qui commutent deux à deux et si α1,…,αr,β1,…,βr sont des formes linéaires sur le Q-espace vectoriel R , telles que β1,…,βr sont nulles sur le Q-sous-espace vectoriel Q de R, alors l’application :

( r [ ( )] ) φ:A↦-→ exp ∑ αi(ln |det(A)|)+ βi -1-arg(det(A )) Ni i=1 2π
est bien un morphisme de GLn(C) dans GLn(Q).

Reste donc à montrer que tout morphisme φ de GLn(C) dans GLn(Q) doit être de cette forme. Pour ce faire, fixons un morphisme φ de GLn(C) dans GLn(Q). Comme GLn(Q) est un sous-ensemble de Mn(Q), qui est un espace vectoriel de dimension finie sur Q, GLn(Q) est au plus dénombrable. D’après le lemme , il existe un morphisme ψ : C*-→GLn(Q) tel que φ = ψ • det . Dès lors, pour montrer que φ est de la forme annoncée dans le théorème , il suffit au vu du lemme de vérifier que tout morphisme ψ de (C*,×) dans GLn(Q) est de la forme :

ψ : z ↦-→ exp (ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr),
où l1 , … lr est une famille de morphismes de (C*,×) dans (Q,+) et où N1,…,Nr est une famille de matrices nilpotentes de Mn(Q) qui commutent deux à deux.

Pour ce faire, considérons un morphisme ψ de (C*,×) dans GLn(Q), et posons Mz = ψ(z) -In pour tout z ∈ C * . Comme ψ(z) est unipotente pour tout z ∈ C* d’après le lemme , la matrice Mz appartient à Mn (Q) et est nilpotente pour tout z ∈ C*. Dès lors, comme l’exponentielle est un homéomorphisme de l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(C) dans l’ensemble des matrices unipotentes de GLn(C), il existe pour tout z ∈ C* une unique matrice nilpotente de Mn(C), notée N(z), telle que eN(z) = ψ(z). noter que, comme la bijection réciproque est donnée par le logarithme (lequel est bien défini car les matrices en question sont nilpotentes d’indice ≤ n), on a la relation :

+∑∞ k n∑- 1 k N(z)=log(ψ(z)) = log(In + Mz) = (- 1)k-1(Mz-)-= (- 1)k-1(Mz-)-. k=1 k k=1 k
En particulier, comme les matrices Mz appartiennent à Mn(Q) et que la somme de droite est finie, on voit que toutes les matrices N(z) appartiennent à Mn(Q). Qui plus est, comme (C*,×) est commutatif, toutes les matrices de la forme ψ(z) commutent entre elles. Comme Mz = ψ(z) -In pour tout z ∈ C * , toutes les matrices Mz commutent entre elles. En particulier, comme N(z) est un polynôme en Mz pour tout z ∈ C*, toutes les matrices N(z) commutent entre elles. Si E désigne le Q-espace vectoriel engendré par toutes les matrices N(z) lorsque z parcourt C*, alors on constate que E est un sous-espace vectoriel de Mn(Q) formé de matrices nilpotentes qui commutent deux à deux. De plus, N est une application de C* dans E par construction. Partant du fait que ψ est un morphisme et que toutes les matrices N(z) commutent entre elles, on a pour tous z, zʹ ∈ C *  :
ʹ-1 ʹ ʹ eN(zz) = ψ(zʹz- 1) = ψ(zʹ)(ψ(z))-1 = eN(z)e- N(z) = eN(z )- N(z).
Comme N(z) et N(zʹ) commutent et qu’elles sont nilpotentes, on voit que N(z) -N(zʹ) est aussi nilpotente. Dès lors, comme l’exponentielle est un homéomorphisme de l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(C) dans l’ensemble des matrices unipotentes de GLn(C), il s’ensuit que N(zʹz-1 ) = N(zʹ) - N(z) pour tous z,zʹ∈ C, et donc N est un morphisme de (C*,×) dans E. Fixons une base (N1,…,Nr) du Q-espace vectoriel E. Alors, pour tout z ∈ C*, il existe des uniques nombres rationnels l1(z),…,lr(z) tels que :
N(z) = ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr.
Comme N est un morphisme de C* dans E et que (N1,…,Nr) est une base de E, il est facile de vérifier que chaque li est un morphisme de (C*,×) dans (Q,+). noter que les matrices N1,…,Nr commutent entre elles car elles forment une base de E. Comme ψ(z) = eN(z) pour tout z ∈ C*, on en déduit que le morphisme ψ est bien de la forme :
ψ : z ↦-→ exp (ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr),
ce qui conclut la démonstration du théorème .

Démonstration du théorème

Commençons par montrer que tout morphisme φ de Q dans GLn(Q) doit être de la forme annoncée dans le théorème . Comme (Q,+) est divisible, on obtient en reproduisant mot pour mot la démonstration du théorème que tout morphisme de (Q,+) dans le groupe des inversibles d’une extension finie L⁄Q est forcément trivial. Partant de là, on vérifie comme dans la démonstration du théorème qu’il existe une famille de morphismes l1,…,lr de (Q,+) dans (Q,+) et une famille de matrices nilpotentes N1,…,Nr de Mn(Q) qui commutent deux à deux telles que :

φ : z ↦-→ exp (ℓ1(z)N1 + ⋅⋅⋅+ ℓr(z)Nr).
noter que tout morphisme li de (Q,+) dans (Q,+) est de la forme li : z↦-→aiz, où ai ∈ Q. Si l’on pose N = a1N1 + ⋅⋅⋅ + arNr, alors on vérifie sans peine que la matrice N est nilpotente (car toutes les matrices Ni sont nilpotentes et commutent deux à deux), et que de plus φ(x) = exN pour tout x ∈ Q. Quant à la réciproque, elle découle directement des propriétés de l’exponentielle de matrices, ce qui conclut la démonstration du théorème .

Démonstration de la proposition

Considérons une suite (xn)n≥1 admissible de (C*)N. Il s’agit tout d’abord de montrer que la suite ((xk )⌊k!z⌋ )k≥1 est stationnaire pour tout z ∈ Q. Pour ce faire, fixons un nombre rationnel z, que l’on écrit sous la forme z = p q, où p ∈ Z et q ∈ N*. Alors, pour tout entier k ≥ q, on voit que k!z est un entier, et donc ⌊k!z⌋ = k!z et ⌊(k + 1)!z⌋ = (k + 1)!z = (k + 1)k!z. En particulier, on a pour tout k ≥ q :

⌊(k+1)!z⌋ (k+1)!z ( k+1)k!z k!z ⌊k!z⌋ (xk+1) = (xk+1) = (xk+1) = (xk) = (xk) ,
ce qui entraine que la suite ((xk)⌊k!z⌋)k≥1 est stationnaire, et donc convergente dans C*. Dès lors, l’application φ(xn ) : Q-→C*, z↦-→limk→+∞(xk)⌊k!z⌋ est bien définie.

Montrons maintenant que cette application est un morphisme de (Q,+) dans (C*,×). Pour ce faire, considérons deux nombres rationnels z,zʹ, que l’on écrit sous la forme z = p q et zʹ = pʹ qʹ, où p, pʹ ∈ Z et q, qʹ ∈ N*. Alors, pour tout entier k ≥ q + qʹ, on constate que k!z,k!zʹ,k!(z -zʹ) sont des entiers, et donc :

⌊k!(z-zʹ)⌋ k!(z-zʹ) k!z -k!zʹ ⌊k!z⌋ -⌊k!zʹ⌋ (xk) = (xk) = (xk) (xk) = (xk) (xk) .
Par passage à la limite quand k tend vers + ∞, il s’ensuit que, pour tous z,zʹ∈ Q :
( ) φ(xn)(z - zʹ) = φ(xn)(z) φ(xn)(zʹ)- 1,
et donc φ(xn ) est bien un morphisme de (Q,+) dans (C*,×).

Enfin, montrons que tout morphisme de (Q,+) dans (C*,×) est de la forme φ(xn), où (xn)n≥1 est une suite admissible de (C*)N. Pour ce faire, considérons un morphisme φ de (Q,+) dans (C*,×), et posons pour tout n ∈ N* :

( ) xn = φ 1- . n!
Comme φ est un morphisme de groupes, on a pour tout n ∈ N* :
[ ( 1 ) ]n+1 ( n+ 1 ) ( 1) (xn+1)n+1 = φ (n+-1)! = φ (n-+-1)!- = φ n! = xn.
En particulier, la suite (xn)n∈N* est admissible. Reste à montrer que φ = φ(xn). Pour ce faire, fixons un élément z de Q, que l’on écrit sous la forme z = pq, où p ∈ Z et q ∈ N*. Alors, pour tout entier k ≥ q, on voit que k!z est un entier, et donc ⌊k!z⌋ = k!z. En particulier, comme φ est un morphisme de groupes, on a pour tout k ≥ q :
[ ( ) ]k!z ( ) (xk)⌊k!z⌋ = (xk)k!z = φ 1- = φ k!z- = φ (z). k! k!
Par passage à la limite quand k tend vers + ∞, il s’ensuit que φ(xn)(z) = φ(z). Comme ceci est vrai pour tout z ∈ Q , on en déduit que φ(xn) = φ, d’où le résultat.

Démonstration du théorème

l’aide des propriétés des matrices diagonales par blocs, il est facile de vérifier que toute application de la forme donnée dans le théorème est bien un morphisme de (Q,+) dans GLn(C). Reste à établir la réciproque. Pour ce faire, considérons un morphisme φ de (Q,+) dans GLn(C ). Comme (Q,+) est abélien, le groupe  Im(φ) est un sous-groupe commutatif de GLn(C ). En particulier, tous ses éléments sont cotrigonalisables. Dès lors, il est facile de vérifier par récurrence sur n qu’il existe une matrice P ∈ GLn(C) et des entiers n1 , … , nr > 0 (avec n = n1 + ⋅⋅⋅ + nr) tels que, pour tout z ∈ Q, la matrice φ(z) est de la forme :

( ) λ1(z)[In1 + M1 (z)] (0) φ(z)= P |( ... |) P-1, (0) λr(z)[Inr + Mr (z)]
où λ1 (z), … , λr (z) sont des nombres complexes non nuls et où M1(z),…,Mr(z) sont des matrices triangulaires supérieures avec des 0 sur la diagonale et appartenant respectivement à Mn1 (C ), … , Mnr (C). Comme l’exponentielle est un homéomorphisme de l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(C) dans l’ensemble des matrices unipotentes de GLn(C), il existe pour tout i ∈ [[1, r]] et pour tout z ∈ C* une unique matrice nilpotente de Mni(C), notée Niʹ(z), telle que eNi ʹ(z) = In i + Mi(z). Comme φ est un morphisme de groupes, on vérifie facilement par le calcul que, pour tout i ∈ [[1,r]] et pour tous z,zʹ∈ Q :
ʹ ʹ - 1 λi(z - z) = λi(z)(λi(z )) ,
d’où il s’ensuit que tous les λi sont des morphismes de (Q,+) dans (C*,×). De plus, comme dans la démonstration du théorème , on montre facilement que, pour tout indice i ∈ [[1,r]], l’application Ni ʹ est un morphisme de (Q,+) dans Mni(C), puis qu’il existe une matrice Ni de Mni(C) telle que Ni ʹ(z) = zNi pour tout z ∈ Q et enfin que Ni est nilpotente. En particulier, il s’ensuit que, pour tout z ∈ Q  :
( ) λ1(z)ezN1 (0) φ(z) = P |( ... |) P -1, zNr (0) λr(z)e
ce qui conclut la démonstration du théorème .

Autres réponses

La question a été résolue par l’auteur.
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