[Questions-Reponses]

R648. Posé dans RMS 119 3

Soit L un corps, K un sous-corps de L et deux entiers naturels non nuls n et N. tant donné deux N-uplets (A₁,…,A_N) _n(K)^N et (B₁,…,B_N) _n(K)^N, l’existence d’une matrice inversible P GL_n(L) telle que ∀k [[1,N]],B_k = PA_kP^-1 implique-t-elle celle d’une matrice inversible Q GL_n(K) telle que ∀k [[1,N]]B_k = QA_kQ^-1 ? (Clément de Seguins Pazzis)

La réponse est oui. Le résultat est essentiellement une reformulation du lemme de Noether-Deuring, bien connu des spécialistes de théorie des représentations, et qui s’énonce comme suit.

Expliquons d’abord l’équivalence entre ces deux résultats.

Supposons acquis le lemme de Noether-Deuring et plaçons-nous sous les hypothèses de la question.

Considérons alors l’algèbre des polynômes en n indéterminées non commutant X₁,…,X_N et à coefficients dans K, et les morphismes ψ : →_n(K) et φ : →_n(K) définis par les conditions ψ(X_k ) = A_k et φ(X_k) = B_k pour tout k [[1,N]]. Si (A₁,…,A_N) est simultanément conjuguée à (B₁ ,…,B_N) sur L, alors φ et ψ sont L-conjuguées, donc K-conjuguées par le lemme de Noether-Deuring, et on obtient alors que (A₁,…,A_N) est simultanément conjuguée à (B₁ , … , B_N ) sur K.

Réciproquement, supposons acquis notre résultat et plaçons-nous sous les hypothèses du lemme de Noether-Deuring.

Les applications K-linéaires φ et ψ ont clairement même noyau, noté V , de codimension finie (non nulle) dans . On prend une base (C₁,…,C_N) d’un supplémentaire de ce noyau. On applique alors le résultat de notre question aux listes (A₁,…,A_N) := (φ(C₁),…,φ(C_N)) et (B₁ , … , B_N ) := (ψ(C₁),…,ψ(C_N)), qui sont simultanément conjuguées sur L. On obtient donc Q GL _n (K ) telle que Qφ(C_i) = ψ(C_i)Q pour tout i [[1,N]], puis les fonctions K-linéaires x Qφ(x) et x ψ(x)Q coïncident sur Kerφ et V ect(C₁,…,C_N) donc elles sont égales.

Il reste bien entendu à démontrer le lemme de Noether-Deuring. Toutes les démonstrations connues à ce jour séparent la démonstration en deux sous-cas, le plus délicat étant celui où K est un corps fini.

Le cas où K est de cardinal supérieur ou égal à n est commun à toutes les démonstrations connues et reprend l’argumentation classique du cas N = 1 : on part de P GL_n(L) telle que Pψ(x) = φ(x)P pour tout x . On note V le sous-K-espace vectoriel de L engendré par les coefficients de P, et (λ₁,…,λ_d) une base de celui-ci, si bien que P = λ_iP_i pour des matrices P₁ , … , P_d de _n (K). Par identification des coordonnées dans la K-base (λ₁,…,λ_d) de V , on voit que, pour tout x , l’identité Pψ(x) = φ(x)P se traduit par ∀i [[1,d]],P_iψ(x) = φ(x)P_i et donne donc Qψ(x) = φ(x)Q pour tout Q V ect_K(P₁,…,P_d). Il suffit pour conclure de montrer que V ect _K (P₁ , …,P_d) contient une matrice inversible. Pour cela, on remarque que la fonction

est polynomiale homogène de degré n, associée à un polynôme non nul puisqu’elle ne s’annule pas en (λ₁ , … , λ_d ). Si K est de cardinal supérieur ou égal à n, cette fonction ne peut s’annuler en tout point de K ⁿ , et la conclusion s’ensuit.

Nous allons maintenant exposer la démonstration classique, qui règle de manière directe le cas où L est une extension finie de K. En combinant ce résultat avec le précédent, il est facile de conclure : si en effet K est fini et L en est une extension infinie, on peut commencer par plonger L dans une clôture algébrique L, puis trouver une extension intermédiaire K - Kʹ-L de degré fini sur K et de cardinal supérieur ou égal à n ; comme les représentations φ et ψ sont conjuguées sur L, elles le sont en particulier sur L, donc sur Kʹ par la première étape. Il suffira donc de traiter le cas d’une extension finie pour redescendre à K.

Pour les extensions finies, la démonstration la plus classique repose sur un résultat à la fois profond et très universel de théorie de représentation des modules, le théorème de Krull-Schmidt. Pour éviter d’introduire une quantité importante de notions, nous nous limitons aux modules sur la K-algèbre qui sont de dimension finie sur K (pour la structure de K-espace vectoriel déduite de leur structure de module).

Un -module de dimension finie sur K est dit indécomposable lorsqu’il est non nul et n’est pas la somme directe de deux sous-modules non-triviaux. Tout -module de dimension finie sur K se décompose comme somme directe finie de sous-modules indécomposables (tous ceux-ci sont évidemment de dimension finie sur K).

Ici, M₁ ⊕ ⊕ M_d désigne la somme directe extérieure des modules M₁,…,M_q, que l’on définit comme le produit cartésien M₁ ×× M_d muni de la structure naturelle de -module produit.

Une démonstration détaillée du théorème de Krull-Schmidt est donnée en annexe à notre réponse. Contentons-nous de quelques remarques : le lecteur au fait de la théorie des représentations de groupes finis a reconnu, pour l’algèbre de groupes C[G] d’un groupe fini G, l’énoncé correspondant sur l’unicité de la décomposition en représentations irréductibles sur C (moyennant le lemme de Maschke, qui permet de voir en les représentations irréductibles complexes de G les C[G]-modules indécomposables de dimension finie sur C). La démonstration du théorème de Krull-Schmidt est essentiellement fondée sur le même principe mais est rendue sensiblement plus compliquée par une différence importante : alors qu’est nul tout morphisme entre deux représentations irréductibles complexes non isomorphes, il peut exister des morphismes non nuls entre -modules indécomposables non-isomorphes !

Nous allons maintenant voir comment le théorème de Krull-Schmidt permet d’obtenir le lemme de Noether-Deuring dans le cas où L est de dimension finie d sur K. Considérons le -module M (respectivement N) dont l’ensemble sous-jacent est Kⁿ et la loi externe définie comme x.X := φ(x)X (respectivement x.X := ψ(x)X) pour tout x et tout X Kⁿ. On définit de même des -modules M_L et N_L en partant de Lⁿ au lieu de Kⁿ. l’aide d’une base de L sur K, on démontre sans peine que M_L est isomorphe, en tant que -module, à la somme directe externe de d copies de M.

Un isomorphisme de -modules de M sur N est en particulier un isomorphisme pour les K-espaces vectoriels sous-jacents. C’est donc une fonction de la forme θ : XQX où Q GL_n(K), vérifiant

ce qui se traduit par ∀x ,Qφ(x) = ψ(x)Q. En faisant de même sur L, on conclut provisoirement que l’hypothèse voulant que φ et ψ soient L-conjuguées suffit à garantir que les -modules M_L et N_L sont isomorphes ; d’autre part il nous suffit de démontrer que les -modules M et N sont isomorphes pour obtenir P GL_n(K) telle que ∀x ,Pφ(x) = ψ(x)P .

On considère alors des décompositions M ≃ M₁ ⊕⊕ M_p et N ≃ N₁ ⊕N_q où M₁ , … , M_p , N₁ , …,N_q sont des A-modules indécomposables. Ainsi, M_L est isomorphe à la somme directe de d copies de M₁, de d copies de M₂, etc, de d copies de M_p. De même, N_L est isomorphe à la somme directe de d copies de N₁, de d copies de N₂, etc, de d copies de N_q. Soit W un -module indécomposable arbitraire. Notons k (respectivement kʹ) le nombre d’indices i [[1, p]] (respectivement j [[1,q]]) tels que M_i (respectivement N_j) soit isomorphe à W. Il y a donc, dans la décomposition précédente de M_L (respectivement de N_L ), exactement dk (respectivement dkʹ) facteurs isomorphes à W . Le théorème de Krull-Schmidt montre alors que dk = dkʹ, d’où k = kʹ. En faisant varier W parmi M₁ , … , M_p , N₁ , …,N_q, on en déduit facilement que p = q et qu’il existe une permutation σ de [[1, p]] telle que M_i soit isomorphe à N_σ(i) pour tout i [[1,p]]. partir de là, on reconstitue sans peine un isomorphisme de -modules de M sur Mʹ, ce qui montre que φ et ψ sont K-conjuguées.

Il y a dix ans, nous avons trouvé une démonstration inédite du lemme de Noether-Deuring pour le cas où K est un corps fini. Pour cela, on démontre le résultat lorsque K - L est une extension quadratique séparable arbitraire (ici on ne suppose pas K fini) : c’est clairement suffisant, puisque qu’à partir de tout corps fini K et à l’intérieur de n’importe quel surcorps algébriquement clos de K, on peut loger une tour d’extensions quadratiques séparables arbitrairement longue. Prenons donc une telle extension et notons σ le K-automorphisme de L différent de l’identité. Supposons disposer d’une matrice P GL_n(L) telle que Pψ(x) = φ(x)P pour tout x . En appliquant l’automorphisme σ coefficient par coefficient, on voit que ∀x ,P^σφ(x) = ψ(x)P^σ, donc φ(x) commute avec (P^σ)^-1P pour tout x . Si le commutant de (P^σ)^-1P est inclus dans celui de P , on en déduit que φ = ψ, ce qui donnerait immédiatement le résultat voulu : l’idée de consiste à se ramener à cette situation après modification de P.

Remarquons que l’on peut, pour n’importe quel couple (R,S) GL_n(K)², remplacer φ et ψ respectivement par xRφ(x)R^-1 et xSψ(x)S^-1, ce qui a pour effet de remplacer P par RPS^-1 .

Décomposons P = A + εB où (A,B) _n(K)² et ε L \ K. Ce qui précède montre que l’on peut remplacer le couple (A,B) par (RAS^-1,RBS^-1) pour un couple arbitraire (R, S) GL _n (K)² sans rien changer à notre problème. Or, les classes d’équivalences pour l’équivalence simultanée des couples de matrices sont connues : elles relèvent de la réduction de Kronecker-Weierstrass (voir l’annexe de pour une version simplifiée de cette réduction). Dans la classe d’équivalence de (A,B) existe un couple particulier (A₁ , B₁ ) dit réduit, et pour un tel couple on démontre que la matrice P₁ := A₁ + εB₁ commute avec toute matrice commutant avec (P)^-1P₁ (les détails sont donnés dans ).

Dans une réponse communiquée à la RMS, Jean Fresnel et Michel Matignon proposent une autre approche, fondée sur la théorie des groupes algébriques. Nous résumerons très brièvement leur réponse dans les lignes qui suivent. Fresnel et Matignon remarquent comme nous qu’il suffit d’établir le résultat pour une extension algébriquement close L du corps K = F_q (où q est une puissance d’un nombre premier) : ils se donnent donc deux listes (A₁,…,A_k) et (B₁,…,B_k) de matrices de M_n (K), supposent l’existence d’une matrice P GL_n(L) telle que PA_lP^-1 = B_l pour tout l de {1, …,k}, et cherchent à montrer qu’une telle matrice peut être remplacée par une matrice de GL _n (K). Pour cela, ils notent F l’automorphisme de Frobenius xx^q de L sur K. Pour toute M de M_n(L), ils considèrent la matrice M^F := (F(m_i,j))_1≤i,j≤n, ce qui définit un automorphisme de la K-algèbre M_n(L). Pour tout l de {1,…,k}, la relation PA_l = B_lP donne P^F A_l = B_l P^F avec P^F dans GL_n(L). Ainsi, P^-1P^F commute avec chaque matrice A_l . Fresnel et Matignon introduisent alors le sous-groupe G des matrices de GL_n(L) commutant avec toutes les A_l, et ils démontrent, grâce à un théorème de Serge Lang sur les groupes algébriques affines (voir la proposition 3, page 119 de ), que la fonction Q G Q^-1 Q^F G est surjective. C’est le cœur de la démonstration : il nécessite l’introduction de la notion de sous-groupe algébrique affine, ce qui nous éloigne très sensiblement du corpus mathématique traité habituellement dans la RMS. Ce résultat acquis, la conclusion est aisée : on dispose alors en effet d’une matrice Q appartenant à G telle que Q^-1 Q^F = P^-1 P^F, on en tire (PQ^-1)^F = PQ^-1, si bien que R := PQ^-1 est dans GL_n(K). On obtient enfin RA_lR^-1 = PA_lP^-1 = B_l pour tout l de {1,…,k}, ce qui conclut la démonstration.

Annexe : démonstration du théorème de Krull-Schmidt

Le point de départ est le lemme suivant :

Par suite, le quotient de End(M) par l’idéal de ses éléments non-inversibles est un corps (non-commutatif en général).

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème de Krull-Schmidt.

Il va suffire de montrer que, pour tout -module indécomposable M de dimension finie sur K, le nombre de termes isomorphes à M est le même pour les deux sommes directes M₁ ⊕⊕ M_p et N₁ ⊕ ⊕ N_q. Pour cela, on se ramène facilement à la situation où l’on dispose d’entiers d > 0 et dʹ≥ 0 tels que M = M₁ = = M_d = N₁ = = N_e et aucun des modules M_d+1 , …,M_p,N_e+1,…,N_q n’est isomorphe à M₁. Il s’agit alors de montrer que d = e.

Plaçons-nous dans cette situation et prenons un isomorphisme f : M₁ ⊕⊕M_p → N₁ ⊕⊕N_q de -modules. Cet isomorphisme fournit une famille (f_i,j)_{1≤i≤q,1≤j≤p} de morphismes de -modules, où f_i,j : M_j → N_i, de sorte que f(x₁,…,x_p) = f_i,j(x_j)_1≤i≤q pour tout (x₁ , … , x_p ) M₁ ×× M_p (on rappelle que M₁ ⊕⊕ M_p est vu comme le produit cartésien des ensembles M₁,…,M_p avec la structure naturelle de -module produit).

De même, on notant g la réciproque de f, on obtient une famille (g_i,j)_{1≤i≤p,1≤j≤q} de morphismes de -modules, où g_i,j : N_j → M_i. La relation g • f = id donne en particulier les identités :

Or, pour tout k [[e + 1,q]] et tout (i,j) [[1,d]] × [[1,e]], le lemme montre que g_i,k •f_k,j appartient à l’idéal I des éléments non-inversibles de End(M). En notant [u] la classe modulo I d’un élément u de End(M), les relations précédentes passent au quotient et donnent, dans le corps gauche résiduel := End(M)⁄I, les identités Ainsi, les matrices A := ([g_i,j])_{1≤i≤d,1≤j≤e} et B := ([f_i,j])_{1≤i≤e,1≤j≤d} vérifient la relation AB = I_d dans l’anneau M_d(). Il vient e ≥ d (les colonnes de A engendrent le -espace vectoriel à droite ^d , lequel est de dimension d sur ). Symétriquement, la relation f • g = id permet d’obtenir e ≤ d, et la conclusion s’ensuit.

Références

[Questions-Reponses]