Q998. Soit f : R → R une fonction indéfiniment dérivable et n un entier naturel. tablir les deux identités.

(Jean-François Coulombel)

Q999. Caractériser les sous-espaces vectoriels F de _n(K) vérifiant la propriété suivante : les seules matrices A inversibles telles que (M F)(AM F) sont les matrices scalaires non nulles. (Franck Taieb)

Q1000. la suite de R827 présente dans ce numéro. Pour tous entiers p et q tels que 0 < p < q, on pose M(p, q) = max_x|sin(px) - sin(qx)|.

a) Montrer que les suites M(1,4n)_n≥1, M(1,4n + 1)_n≥0, M(1,4n + 2)_n≥0 sont strictement croissantes.

b) Montrer que, pour tout n ≥ 1, M(1,4n + 1) < M(1,4n) < M(1,4n + 2). (ric Pité)

Q1001. Imaginons un puzzle de 48 pièces : 6 pièces pour la largeur et 8 pièces pour la longueur. Un tel puzzle a autant de pièces au bord qu’à l’intérieur (c’est-à-dire 24).

a) Y a-t-il d’autres couples d’entiers naturels (x,y) solutions de ce problème ?

b) On demande d’étudier le problème analogue en dimension 3 : quels sont les triplets (x,y,z) d’entiers au moins égaux à 3 tels que le cube [[0,x]] × [[0,y]] × [[0,z]] a autant de pavés entiers élémentaires de volume 1 au bord qu’à l’intérieur ? Autrement dit, on demande de résoudre l’équation diophantienne :

où x ≥ 3, y ≥ 3, z ≥ 3.

c) Le problème analogue a-t-il en dimension n ≥ 4 un ensemble fini de solutions ? Estimer dans ce cas le nombre de solutions. Existe-t-il deux solutions non égales à permutation près donnant le même hypervolume. (Rafik Imekraz)

Q1002. Soit f une solution de l’équation différentielle (E) : yʹʹ- yʹ⁴ + y² + 1 = 0 .

Dans l’exercice d’oral 339 de RMS 125, on demande de montrer que si f s’annule en a et en b avec a < b, alors f est positive entre a et b.

tudier qualitativement les solutions de (E) : intervalle de définition ; étude aux bornes de l’intervalle etc. (Alain Tissier)
[Questions-Reponses]