On raisonne par récurrence sur d = deg(P).

∙ Si deg (P) ≤ 0, alors P est constant égal à a et la suite  _nN est d’une part convergente vers 1 et d’autre part constante égale à e^2iπa. Par unicité de la limite, e^2iπa = 1 donc a Z , ce qui prouve le résultat lorsque P est constant.

∙ Soit d N . Supposons que tout polynôme Q de degré d vérifie la propriété du texte.

Soit P R [X] un polynôme de degré d + 1 tel que lim_n→+∞e^2iπP(n) = 1 et considérons le polynôme Q(X) = P(X + 1) - P(X) dont le degré est égal à d. Pour tout n Z, e^2iπQ(n) = d’où lim_n→+∞e^2iπQ(n) = 1.

D’après l’hypothèse de récurrence, pour tout n N, Q(n) Z. Alors

∀n Z , e^2iπP(n+1) = e^2iπP(n), donc la suite (e^2iπP(n))_nZ est constante égale à 1, puisque e^2iπP(n) 1. Il en résulte que ∀n Z,P(n) Z, ce qui établit la propriété à l’ordre d + 1 et clôt la récurrence.
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