1008. Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.

a) Montrer que les boules de E sont convexes.

b) Soit C une partie convexe de E. On suppose que C est dense dans E. Montrer que C = E : i) dans le cas où E = R ; ii) dans le cas général.

a) C’est une conséquence immédiate de l’inégalité triangulaire.

b) i) Les convexes de R sont les intervalles et le seul intervalle dense dans R est R lui-même.

ii) Quitte à faire une translation, il suffit de montrer que 0 C.

Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par C. Il est fermé (car E est de dimension finie). Alors E = C ⊂ F = F , donc F = E. Par conséquent C engendre E, donc il contient une base B = (e₁ , ..., e_n ) de E.

Le convexe C contient l’ensemble

On va montrer que C contient un point x à coordonnées strictement négatives dans la base B, et on écrira 0 comme barycentre de x et d’un point de Δ (faire un dessin en dimension 2 : la droite passant par x et 0 coupe Δ du côté opposé à x).

L’ensemble U = {t₁e₁ + + t_ne_n∣t₁,...,t_n < 0} est un ouvert non vide de E. Il rencontre donc C : il existe x = -(x₁e₁ + + x_ne_n) C ∩ U (avec x₁,...,x_n > 0). Posons s = x₁ + + x_n. Le point y = (x₁e₁ + + x_ne_n)⁄s appartient à Δ donc à C. Sachant que - 1 < 0 < 1⁄s, on en déduit que le vecteur nul de E est situé sur le segment [x, y] ⊂ C.
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