968. Soit (an )n∈N* une suite de réels strictement positifs.

Pour n ∈ N * , soit Sn = ∑n

k=1ak2. On suppose que anSn-→n →+∞ 1.

a) Montrer que ∑a2
k diverge.

b) Donner un équivalent de an.

a) Supposons par l’absurde que la série Σa2
n converge ; alors la suite (an) tend vers 0 et (Sn) tend vers + car Sn ~ 1⁄an. C’est contradictoire.

b) On a Sn - Sn-1 = a2n ~ S-n 2. Comme (Sn) tend vers + et que (Sn -Sn-1) tend vers 0, on a : Sn ~ Sn-1 puis S2n ~ S2n-1. Par ailleurs, S3n -S3n-1 = (Sn -Sn-1)(S2n + SnSn-1 + S2n-1). On a : 3a2nS2n-1 S3n - S3n-1 3a2nS2n. Par encadrement S3n - S3n-1 ~ 3a2nS2n ~ 3.

Ainsi (S3n - S3n-1) tend vers 3. D’après le théorème de Cesàro, (S3n⁄n) tend vers 3 d’où

Sn ~ (3n)1⁄3  et an ~ ---1--.
                     (3n)1⁄3

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