968. Soit (an )nN* une suite de réels strictement positifs.
[Liste des corrigés]
Pour n N * , soit Sn = ak2. On suppose que anSn 1.
a) Montrer que a diverge.
b) Donner un équivalent de an.
a) Supposons par l’absurde que la série Σa converge ; alors la suite (an) tend vers 0 et (Sn) tend vers + ∞ car Sn ~ 1⁄an. C’est contradictoire.
b) On a Sn - Sn-1 = a ~ S. Comme (Sn) tend vers + ∞ et que (Sn -Sn-1) tend vers 0, on a : Sn ~ Sn-1 puis S ~ S. Par ailleurs, S -S = (Sn -Sn-1)(S + SnSn-1 + S). On a : 3aS ≤ S - S ≤ 3aS. Par encadrement S - S ~ 3aS ~ 3.
Ainsi (S - S) tend vers 3. D’après le théorème de Cesàro, (S⁄n) tend vers 3 d’où
[Liste des corrigés]