935. Soient A et B deux événements indépendants de (Ω,T ,P). On pose Z = 1A + 1B.

a) Déterminer Z(Ω).

b) Montrer qu’il existe k ∈ Z(Ω) tel que P(Z = k) ≥ 4⁄9.

a) On a Z(Ω) ⊂ {0,1,2}.

b) On suppose par l’absurde que P(Z = 0) < 49, P(Z = 1) < 49 et P(Z = 2) < 49 et on pose

1+-α- 1+-β- P(A)= 2 , - 1 ≤ α ≤ 1 et P(B) = 2 , - 1 ≤ β ≤ 1
On explicite les inégalités P(Z = k) < 4 9, k = 0,1,2, pour obtenir
16 1 16 1-(α+ β)+ αβ < -- , - < αβ 1 + (α + β)+ αβ < --. 9 9 9
Ainsi α et β ont même signe. Supposons sans perte de généralité que α > 0 et β > 0. Dans ce cas
1 16 0<α≤ 1, 0 < β ≤ 1,9 < αβ et 1+ (α+ β)+ α β < 9-.

Posons u := √- αβ > 13. On a

16 •--- 16 -> u2 + (α + β)+ 1 ≥ u2 + 2 α β + 1 = (u + 1)2 > 9 9

c’est absurde. Ainsi il existe k ∈ Z(Ω) tel que P(Z = k) ≥ 4⁄9.

Remarque. En considérant deux variables aléatoires U et V indépendantes suivant la loi B( ) 23 et en posant A := (U = 1) et B := (V = 1), on constate que P(Z = 0) = 1⁄9, P(Z = 1) = 4⁄9 et P(Z = 2) = 4⁄9 ce qui montre que la constante 4⁄9 est optimale.

Solutions de Laurent Dietrich, Abdelkader Daouia, Lionel Ponton.


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