8. Pour n ∈ N * , g(n) désigne le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec multiplicité ; par exemple, g(52) = 2. Calculer, pour n ∈ N*, ∑

 d|n(-1)g(d).

La fonction arithmétique g vérifie : (a,b) ∈ N*2,ab = 1=⇒g(ab) = g(a) + g(b) (il suffit de considérer les décompositions en produit de facteurs premiers de a et b).

Soit n dans N * . Écrivons : n = p1α1prαrp1pr sont des nombres premiers deux à deux distincts et α1 , , αr des entiers naturels non nuls et posons Sn = ∑

d|n(- 1)g(d).

On peut alors écrire :

Sn = ∑

d|n(-1)g(d) = ∑α1

i1=0∑αr

ir=0(-1)g(p1i1p rir)
= ∑α1

i1=0∑αr

ir=0(-1)g(p1i1)+⋅⋅⋅+g(p rir) =  α∑1

i1=0α∑r

ir=0(-1)i1+⋅⋅⋅+ir
= ( α∑1      )
     (- 1)i1
  i1=0⋅⋅⋅( α∑r       )
     (- 1)ir
  ir=0.

Or, pour tout j ∈ [ [1,r]], ∑αj

ij=0(-1)ij = 1-(-1)αj+1
----2---- est égal à 1 si αj est pair et égal à 0 si αj est impair.

En conclusion, Sn = 1 si n est un carré parfait, sinon Sn = 0.
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