La fonction arithmétique g vérifie : ∀ N*2,a∧b = 1g(ab) = g(a) + g(b) (il suffit de considérer les décompositions en produit de facteurs premiers de a et b).
Soit n dans N * . Écrivons : n = p1α1…prαr où p1…pr sont des nombres premiers deux à deux distincts et α1 , … , αr des entiers naturels non nuls et posons Sn = g(d).
On peut alors écrire :
Sn | = (-1)g(d) = …(-1)g(p1i1…p rir) | ||
= …(-1)g(p1i1)++g(p rir) = …(-1)i1++ir | |||
= . |
Or, pour tout j [ [1,r]], (-1)ij = est égal à 1 si αj est pair et égal à 0 si αj est impair.
En conclusion, Sn = 1 si n est un carré parfait, sinon Sn = 0.
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