629. Soient p ∈]0,1[, (Xk)k≥1 une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p. On pose L1 = max{k ∈ N*;X1 = X2 = ⋅⋅⋅ = Xk} si cet ensemble est fini, + ∞ sinon.

a) Montrer que L1 est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

b) Si L1 < +∞, soit L2 = max{l ∈ N*;XL1+1 = XL1+2 = ⋅⋅⋅ = XL1+l} si cet ensemble est fini, + ∞ sinon. Montrer que L2 est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

a) Si k ∈ N * ,

k k P(L1≥k)=P(X1 = 1,...,Xk = 1)+ P(X1 = 0,...,Xk = 0) = p + (1- p) .
Par continuité décroissante, P(L1 ≥ k)- →k→+ ∞ P(L1 = +∞), donc P(L1 = +∞) = 0.

Si k ∈ N * ,

k k P(L1=k ) = P(L1 ≥ k)- P (L1 ≥ k+ 1) = (1 - p)p + p(1 - p) .
On en déduit
+∑∞ ( ) E(L1)= p(1- p)kpk-1 + p(1- p)k(1 - p)k-1 = --p--+ 1--p. k=1 1- p p
On a
+∞ ∑ ( 2 k-2 2 k-2) E(L1(L1-1)) = p(1 - p)k(k- 1)p + p(1- p) k(k - 1)(1 - p) k=22 2 2 2 = 2p-(1---p)+ 2p(1--p)-= --2p----+ 2(1--p)- (1- p)3 p3 (1 - p)2 p2
donc

V (L1 ) = E(L1(L1 - 1))+ E(L1)- E (L1)2 p2 (1- p)2 p 1- p = (1--p)2 +---p2--+ 1--p + -p--- 2

b) Soit l ∈ N * . On a :

+∞ P(L2≥ℓ)= ∑ P(L2 ≥ ℓ,L1 = k) k=1 +∑∞ = (P (L2 ≥ ℓ,L1 = k,X1 = 0)+ P(L2 ≥ ℓ,L1 = k,X1 = 1)) k=1 +∑∞ = (P (X1 = 0,...,Xk = 0,Xk+1 = 1,...,Xk+ℓ = 1) k=1 +P (X1 = 1,...,Xk = 1,Xk+1 = 0,...,Xk+ℓ = 0)) +∑∞ = ((1 - p)kpℓ + pk(1- p)ℓ) = p(1- p)ℓ- 1 + (1 - p)pℓ-1 k=1
Par continuité décroissante P(L2 ≥ l)- →l→+ ∞ P(L2 = +∞), donc P(L2 = +∞) = 0.

Si l ∈ N * ,

2 ℓ-1 2 ℓ-1 P(L2=ℓ) = P(L2 ≥ ℓ) - P(L2 ≥ ℓ + 1) = p (1 - p) + (1 - p) p
On a
+ ∞ E(L2) = ∑ (p2ℓ(1- p)ℓ-1 + (1 - p)2ℓpℓ-1) = 2, ℓ=1
+ ∞ E(L(L-1)) = ∑ (p2(1- p)ℓ(ℓ - 1)(1- p)ℓ-2 + (1- p)2pℓ(ℓ- 1)pℓ- 2) 22 ℓ=2 2(1 - p) 2p = -------+ ----- p 1- p
et
2(1- p) 2p V (L2) =------- + ------ 2. p 1- p

[Liste des corrigés]

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