607. Soient n ∈ N*, A et B dans Mn(C). On pose [A,B] = AB -BA, on suppose que A et B commutent avec [A,B]. Pour t ∈ R, soit f(t) = etAetBe-2 t2-[A,B].

a) Pour k ∈ N * , montrer que AkB - BAk = kAk-1[A,B].

b) Trouver une équation différentielle vérifiée par f.

c) Montrer que eA+B = eAeBe-[A,B2]-.

Solution d’après François Capacès, Jean-Claude Jacquens, Hai Chaû Nguyên,
Adrien Reisner

a) Soit k ∈ N * . On a :

k-1 k-∑ 1 i k- 1-i k-∑ 1( i+1 k- 1- i i k- i) kA[A,B]= A (AB - BA )A = A BA - A BA i=0 i=0 = AkB - BAk.

b) On déduit de a) que, pour t ∈ R,

+∞∑(k k) +∑∞ k- 1k (tA)B- B (tA)- = kA----t[A,B ] ⇔ etAB - BetA = tetA[A, B]. k=0k! k! k=1 k!
Pour t ∈ R ,
2 2 2 fʹ(t)=AetAetBe-t [A,B]⁄2 + etABetBe-t [A,B]⁄2 - etAetBt[A,B ]e-t [A,B]⁄2.
Comme A et B commutent avec [A,B], on a etAetB[A,B] = [A,B]etAetB d’où
fʹ(t)=(A- t[A, B])etAetBe-t2[A,B]⁄2 + (BetA + t[A,B ]etA)etBe-t2[A,B ]⁄2 2 =(A+ B )etAetBe-t[A,B ]⁄2 = (A + B)f(t)

c) Les applications f et g : t↦→et(A+B) sont de classe C1 sur R et solutions du problème de Cauchy

ʹ (y = (A + B )y,y(0) = In).
Par unicité, f = g et, en particulier, f(1) = g(1) c’est-à-dire eA+B = eAeBe-[A,B]⁄2.
[Liste des corrigés]

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