Solution de Jean-Claude Jacquens
La fonction f : xx⁄1 + xα sin2(x) est continue sur R + et positive. Elle est donc intégrable sur R+si et seulement si la série un converge, où un = f(x)d x. Le changement de variable affine x = nπ + t donne
un = d t.
On en déduit que nπan+1 ≤ un ≤ (n + 1)πan où
an = ⋅
Par parité et π-périodicité, on a
an = 2⋅
Le changement de variable t = arctan(θ) étant de classe 1 et bijectif entre [0,+∞[ et [0,π⁄2[, il s’ensuit :
Ainsi an ~ n→∞ π⁄(nπ)α⁄2, donc un ~n→∞π⁄(nπ)α⁄2-1⋅ La série un converge
si et seulement si α > 4. La fonction f est donc intégrable sur R+ si et seulement si
α > 4.
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