545. Pour n ∈ N*, soit σ(n) la somme des diviseurs de n dans N*. Donner un équivalent de Un = n ∑ k=1σ(k).

On a :

Un = n ∑ k=1σ(k) = n ∑ k=1(∑ ) q|kq = ∑ *2 (p,q)∈N ,pq≤nq. Alors

Un = n ∑ p=1( ) ∑nq q≤p = n ∑ p=1( ) ∑ ⌊np⌋q q=1 = 1 2 n ∑ p=1⌊ ⌋ n p(⌊ ⌋ ) n + 1 p.

Or, pour tout x ∈ R, x - 1 < ⌊x⌋≤ x, donc

1 n∑ (n ) n 1∑n ( n ) n 2 p-- 1 p-≤ Un ≤ 2 p-+ 1 p, p=1 p=1
d’où
( ) ( ) ( ) ( ) n2n∑ 1- n- ∑n 1 n2 ∑n 1- n- ∑n 1 2 p2 - 2 p ≤ Un ≤ 2 p2 + 2 p ⋅ p=1 p=1 p=1 p=1

Or, n∑ p=11p = O(lnn), +∑∞ p=11p2- = ζ(2) = 2 π6 et 2 π6- -1n ≤∑n p=11p2 ≤ 2 π6-, ce qui assure que Un =n→+∞ 22 πn12 + O(nlnn), donc : Un~n→+ ∞ 2 2 π1n2-⋅
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