539. Soient C une partie convexe d’un espace normé réel E, D une partie de E telle que C ⊂ D ⊂ C . Montrer que D est connexe par arcs.

Solution d’après David Alexander

Il suffit de montrer que l’on peut relier continûment un point d de D à un point c de C en restant dans D. Soient donc d ∈ D et c ∈ C. Considérons une suite (cn)n≥1 d’éléments de C de limite d. On pose c0 = c. Soit γ défini sur ]0,1] par :

[ ] * --1-- 1- ---(t--1⁄n)--- ∀n∈N, ∀t ∈ n + 1,n , γ(t) = (cn+1 - cn)1⁄(n+ 1)- 1⁄n + cn.
Comme C est convexe, γ est à valeurs dans C ; on a de plus γ continu et γ(t) → d quand t → 0. Il reste à poser γ(0) = d pour conclure.
[Liste des corrigés]

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