535. Soient n ∈ N*, Un(C) l’ensemble des matrices M ∈Mn(C) telles que tMM = In.

a) Soit A ∈ Un (C) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de A, montrer que A s’écrit eiS où S ∈ Sn(R). Réciproque ?

b) Soit A ∈ Mn (C). Montrer que A ∈ Un(C) si et seulement si A s’écrit OeiS avec O ∈ On (R ) et S ∈ Sn(R).

On vérifie immédiatement que Un(C) est un sous-groupe de GLn(C) stable par A↦→A et A↦→tA et que Un (C ) ∩ Mn(R) = On(R).

a) Soit A ∈ Un (C) ∩Sn(C). Posons A = U + iV avec U,V ∈Mn(R). Comme A = tA, on a U, V ∈ Sn (R ) et

-- In=tAA = (U - iV)(U + iV ) = (U2 + V2)+ i(UV - VU ).

On a donc

U 2 + V2 = I (*) et U V - V U = 0 (**) n
De (**), on déduit classiquement que les matrices symétriques U et V sont orthogonalement co-diagonalisables soit
( ) ( ) | λ1 0 | | μ1 0 | U=Ω ( ... ) Ω-1 et V = Ω ( ... ) Ω-1 0 λn 0 μn

avec Ω ∈ On (R ), λ1,…,λn,μ1,…,μn ∈ R.

De (*) on déduit alors que λ2j + μ2j = 1 et on dispose donc de θj ∈ R tel que λj = cosθj, μj = sin θj . On a donc

(iθ1 ) ( ( ) ) |e 0 | | | θ1 0| | A=Ω( ... ) Ω-1 = Ω exp(i ( ... ) ) Ω-1 = exp(iS) 0 eiθn 0 θn

avec S = Ω( ) θ1 0 |( ... |) 0 θnΩ-1 ∈Sn(R).

Réciproquement, si S ∈Sn(R), il est immédiat que eiS ∈ Un(C) ∩Sn(C). Ainsi S↦→eiS induit une surjection de Sn(R) sur Un(C) ∩Sn(C).

b) Soient O ∈ On(R) et S ∈Sn(R). On a O ∈ Un(C) et eiS ∈ Un(C), donc OeiS ∈ Un(C).

Réciproquement, soit A ∈ Un(C). Comme tA ∈ Un(C), tAA ∈ Un(C). Or tAA ∈Sn(C) et on dispose donc selon a) de S ∈Sn(R) telle que tAA = e2iS, d’où

( )( ) In = e-iStAAe -iS = t Ae- iS Ae -iS .

Or Ae-iS ∈ Un (C), d’où

t(-----) ( -iS )- 1 t( -iS) Ae-iS = Ae = Ae .

donc Ae-iS ∈ Mn(R), soit Ae-iS ∈Mn(R) ∩ Un(C) = On(R).

Posons O = Ae-iS. On a bien A = OeiS avec O ∈On(R) et S ∈Sn(R).

Ainsi, (O, S)↦→ OeiS induit une surjection de On(R) ×Sn(R) sur Un(C)


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