519. Soient E = C0([0,1], C), g une surjection continue croissante de [0,1] sur lui-même et Φ l’endomorphisme de E défini par ∀f ∈ E, Φ(f) = f •g. Soit V un sous-espace de dimension finie de E stable par Φ. Montrer que Φ induit un automorphisme ϕ de V dont la seule valeur propre est 1. En déduire que ϕ = idV .

∙  La fonction g est surjective de [0,1] sur [0,1], on a donc

Ker ϕ = {f ∈ V | f • g = 0} = {f ∈ V | f = 0} = {0};
l’espace V étant de dimension finie et ϕ(V ) étant inclus dans V , ϕ est un automorphisme de V .

∙  Soit λ une valeur propre de ϕ et f ∈ V \{0} un vecteur propre associé. La surjectivité de g permet d’écrire : ∥f∥∞ = ∥f •g∥∞ = |λ|∥f∥∞, d’où |λ| = 1.

Fixons un point x0 ∈ [0,1] tel que f(x0)≠0. Pour tout n ∈ N, on a ϕn(f) = λnf, i.e. f • gn = λnf (où gn désigne une puissance pour la loi •), en particulier f(gn(x0)) = λnf(x0). Or la fonction g est croissante, donc la suite (gn(x0)) est monotone ; elle est aussi bornée par 0 et 1 donc elle converge vers un point fixe y de g. On en déduit que λn = f(gn(x0))⁄f(x0) converge vers f(y)⁄f(x0). Ceci impose λ = 1 (puisque le seul complexe z de module 1 tel que la suite (zn) converge est z = 1). Ainsi la seule valeur propre possible de ϕ est 1.

∙  L’espace V est un C-espace vectoriel de dimension finie donc le spectre de ϕ ne peut être vide. On en déduit que Sp(ϕ) = {1}. Considérons l’endomorphisme ψ = ϕ - idV . D’après le théorème de Cayley-Hamilton, ψ est nilpotent (car χϕ = (X - 1)dimV ). Supposons par l’absurde que son indice de nilpotence p soit > 1. On a, pour tout entier n ≥ p,

p-1( ) ϕn = (id + ψ)n = ∑ n ψk. V k=0 k
Lorsque n → +∞, le terme prépondérant dans cette somme est (n ) p-1ψp-1 et il n’est pas borné. Plus précisément, soit f ∈ V tel que ψp-1(f)≠0, alors on a
( ) p-2( ) ( ) ∥ϕn(f)∥≥n ∥∥ψp- 1(f)∥∥ -∑ n ∥∥ψk(f)∥∥ ~ n ∥∥ψp-1(f)∥∥ ∞p- 1 ∞ k=0 k ∞ n→+ ∞ p- 1 ∞
(car (n) k ~nk k! lorsque n → +∞à k fixé). On aurait donc ∥ϕn(f)∥ ∞→ +∞, et ceci est absurde puisque ∥ϕn(f)∥ ∞ = ∥f • gn∥∞ = ∥f∥∞ pour tout n. On conclut que p = 1, c’est-à-dire ϕ = id V .

Remarque. Il existe des exemples non triviaux de couples (V,g) vérifiant les hypothèses de cet exercice. Par exemple, si K ⊂ [0,1] désigne l’ensemble triadique de Cantor, f l’escalier du diable (fonction continue et croissante de [0,1] dans [0,1], constante sur chaque composante connexe de cK) et g une surjection croissante telle que g(x) = x pour tout x ∈ K et g(x) < x pour tout x⁄∈K, alors on a f • g = f, et V = V ect(id[0,1],f) convient. Cet exemple est non trivial au sens où g(x)≠ x presque partout.
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