509. Soient n ∈ N*, m ∈ N*, A ∈Mn(C), B ∈Mm(C), C ∈Mn,m(C). Montrer que M = () AC 0B est diagonalisable si et seulement si A et B sont diagonalisables et s’il existe X ∈ Mn,m (C ) tels que AX - XB = C.

Solution de Adrien Joseph

Preuve du sens réciproque Supposons que A et B sont diagonalisables et que l’on dispose d’une matrice X ∈ Mn,m(C) telle que AX - XB = C. On montre par récurrence que pour tout k ∈ N ,

(Ak AkX - XBk ) M k = 0 Bk ,
puis par linéarité que pour tout polynôme P ,
( ) P (M ) = P (A ) P (A)X - XP (B) . 0 P (B)
(1)

Considérons le polynôme P0 égal au PPCM du polynôme minimal ΠA de A et de celui ΠB de B. Comme A et B sont diagonalisables, ΠA et ΠB sont scindés à racines simples, donc P0 l’est aussi. D’autres part on a P0(A) = P0(B) = 0 donc P0(M) = 0. Comme P0 est scindé à racines simples, on conclut que M est diagonalisable.

Preuve du sens direct Supposons M diagonalisable. Les caractères diagonalisables de A et B peuvent être établis par critère polynomial, mais nous allons en donner une autre preuve pour mettre C en évidence.

Par hypothèse, on dispose d’une base E = ( ( ) ) Yi Zii∈[[1,n+m]] de Cn+m constituées de vecteurs propres de M. Pour tout i, on note λi la valeur propre associée au i-ème vecteur de E. Ainsi :

∀i∈ [[1,n +m ]], AYi +CZi = λiYi et BZi = λiZi.
(2)

On montre que la famille (Zi)i∈[[1,n+m]] est une famille génératrice de Cm. Pour tout Z ∈ C m , le vecteur ( ) 0 Z de Cn+m est combinaison linéaire des vecteurs de E, ce qui montre, en considérant les m dernières lignes, que Z est combinaison linéaire des vecteurs Zi . Extrayons de la famille génératrice (Zi)i∈[[1,n+m]] de Cm une base (Zj)j∈J de cet espace.

D’après (), on a donc exhibé une base de Cm constituée de vecteurs propres de B, ce qui montre que B est diagonalisable. En appliquant le même argument à tM, qui est diagonalisable puisque M l’est, on montre que tA est diagonalisable, donc A l’est aussi.

Considérons maintenant l’unique application linéaire f de Cm dans Cn telle que pour tout j ∈ J, f(Zj ) = -Y j . En notant uC (resp. uA et uB) l’application linéaire canoniquement associée à C (resp. A et B), montrons que

uC = uA •f - f •uB.
(3)

D’après (), pour tout j ∈ J :

(uA•f-f•uB)(Zj) = - AYj - λjf(Zj) = - AYj + λjYj = CZj = uC (Zj).
Ainsi, les applications linéaires uC et uA • f - f • uB coïncident sur une base de Cm donc sont égales. En notant X ∈Mn,m(C) la matrice de f dans les bases canoniques de Cm et de Cn, () donne C = AX - XB.
[Liste des corrigés]

[ < ]