375. Soient n ≥ 3, a1,…,an des complexes de module 1. Montrer qu’il existe z ∈ C de module 1 tel que n ∏ i=1|z - ai| = 1.

Remarque. L’hypothèse n ≥ 3 est inutile. Il suffit que n ∈ N*.

Notons P le polynôme ∏nk=1(X - ak) et écrivons P(X) = ∑n k=0αkXk, où αn = 1 et α0 = (-1)n a1 ⋅⋅⋅an. Alors

∫ 2π ∑n ∫ 2π -1- P(eiθ)dθ = αk-1- eikθdθ. 2π 0 k=0 2π 0

Or pour k ∈ Z , 12π∫ 2π 0eikθ d θ = 0 si k≠0 et 1 si k = 0, donc

∫ |∫ | 12π iθ n -1-|| 2π iθ || 2π0 P (e )dθ = (- 1)a1⋅⋅⋅an et 2π | 0 P(e )dθ| = 1.

Ainsi 1 2π∫2π 0||P(eiθ)||d θ ≥-1 2π| | ||∫2πP (eiθ)dθ|| 0 = 1.

La fonction φ : [0,2π] → R, θ↦→| | |P (eiθ|étant continue, la formule de la moyenne s’applique ; il existe donc θ0 ∈ [0,2π] tel que :

∫ 2π ∫ 2π φ(θ0) =-1- φ(θ)dθ = 1-- ||P (eiθ)||dθ ≥ 1. 2π 0 2π 0

Soit θ1 ∈ [0, 2π] tel que a1 = eiθ1. Comme P(a1) = 0, φ(θ1) = 0. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la restriction de la fonction continue φ au segment de bornes θ0 et θ1 assure qu’il existe θ (entre θ0 et θ1) tel que φ(θ) = 1. Il existe donc z ∈ U, à savoir z = eiθ, tel que |P(z)|= 1.
[Liste des corrigés]


[ < ]