358. Soit n ∈ N*.

a) Montrer que +∞ ∑ k=1knk-1 (n+k)! = 1- n!⋅

b) Soient X1 , … , Xn des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre 1. On pose Sn = n∑ k=1Xk et Tn = Sn√--n n⋅ Montrer que ∫ + ∞ 0P(Tn ≥ x)d x = √n-(ne)n1n!⋅

a) On remarque que nk-1 (n+k-1)! - nk (n+k)! = nk-1(n+k)-n -(n+k)!- = knk-1 (n+k)! pour tout k ∈ N*. Or ∑ knk k! converge d’après le cours sur l’exponentielle, donc nk = ok→+∞(k!) puis nk = ok→+∞((n + k)!). Par liaison suite-série, on conclut que

+∑ ∞ k- 1 0 kn-----= n- - 0 = 1⋅ k=1 (n + k)! n! n!

b) Commençons par établir que Sn suit la loi de Poisson P(n). D’abord on obtient que pour tout θ ∈ R *+ et toute variable aléatoire X suivant P(θ),

+∑∞ kθk -θ tθ -θ θ(t- 1) ∀t ∈ [0,1],GX (t) = t k!e = e e = e . k=0
Par indépendance de X1,…,Xn, il vient, pour tout t ∈ [0,1],
n GS (t) = ∏ GX (t) = (et- 1)n = en(t-1) = GY (t) n k=1 k
où Y suit P(n). La fonction génératrice déterminant la loi, on en déduit que Sn ~ Y , ce qu’il fallait démontrer.

En particulier Tn est à valeurs dans n-1⁄2Z. Soit k ∈ N. Pour tout x ∈] k-k+1] √n,√ n, on a donc P(Tn ≥ x) = P( k+1) Tn ≥ √n- = +∑∞ i=k+1P(√ -- nT n = i). En particulier, x↦→P(Tn ≥ x) est constante sur ] [ k√n, k√+n1 et

∫ √- (k+1)⁄ n -1- +∑∞ √ -- k⁄√n P (Tn ≥ x)dx = √n- P( nTn = i). i=k+1
Par sommation par paquets (cas d’une famille positive),
+∞∑+∞∑ ∑ +∑∞ i∑-1 P (√nTn = i) = P (√nTn = i) = P (√nTn = i) k=0i=k+1 0≤k<i i=1k=0 ∑+∞ = iP (√nTn = i), i=1
sous réserve de convergence de ∑ iiP(√n-T n = i). Or, pour tout i ∈ N*,
√ inn+i ini-1 iP(nTn = i) = iP(Sn = n+ i) = (n+-i)!e- n = nnne- n(n+-i)!,
et la question a) justifie donc la convergence recherchée. On en déduit que
+∞∫(k+1)⁄√n +∞ i-1 ∑ P (Tn ≥ x)dx = √1-nnne-n ∑ -in-----= √nnne -n 1-, k=0k⁄√n n i=1 (n+ i)! n!
ce que l’on récrit ∫k⁄√n- 0P(Tn ≥ x)dx-→√n-nn e-n1- n! quand k tend vers + ∞.

Ce qui précède a permis de voir que x↦→P(Tn ≥ x) est continue par morceaux sur R+. Comme cette fonction est positive, X↦→∫ X 0P(Tn ≥ x)dx est croissante et possède donc une limite en + ∞. La convergence établie plus haut montre que cette limite vaut √-- nnn e-n1n!, et on conclut que

∫ +∞ √ --n -n-1 0 P(Tn ≥ x)dx = nn e n!⋅

Remarque : grâce à la formule de Stirling, on voit ∫ +∞ 0P(Tn ≥ x)dx, qui n’est autre que E((Tn )+ ), tend vers √12π quand n tend vers + ∞. Ce résultat était prévisible par une version forte du théorème central limite, qui donnerait que (E((Tn)+))n≥1 converge vers ∫ +∞ 0xe-x2⁄2 -√2π-dx.


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