351. Soient n ∈ N*, M une matrice aléatoire de Mn+1(R) dont les coefficients sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur {-1,1}, N une matrice aléatoire de Mn (R ) dont les coefficients sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur {0, 1}. Montrer que P(M ∈ GLn+1(R)) = P(N ∈ GLn(R)).

Solution de Jean Nougayrede

⊳ Notons A l’ensemble des matrices de GLn(R) à coefficients dans {0,2} et B l’ensemble des matrices de GL n+1(R) à coefficients dans {-1,1} dont la première colonne et la première ligne sont constituées de 1. Observons que

P(N ∈ GLn(R)) = ca2rdn2A⋅

Soit M ∈ A. On construit ainsi N dans B :
→ On commence par construire Nʹ dans Mn+1(R) par blocs :

ʹ ( 1 (1) ) N = (0) M

Nʹ est inversible (triangulaire par blocs avec des blocs diagonaux inversibles).

→ Ensuite, on effectue sur Nʹ les opérations élémentaires

L2 ← L1 - L2 , … ,Ln+1 ← L1 - Ln+1

pour obtenir N. Alors N est inversible car les opérations élémentaires conservent l’inversibilité.

La première colonne et la première ligne de N sont constituées de 1. Les autres coefficients de la matrice N valent - 1 ou 1 car 1 - 2 = -1 et 1 - 0 = 1. Donc N est élément de B et φ : M↦→N est une fonction bien définie de A vers B.

Elle est injective (comme composée des deux injections M↦→Nʹ et Nʹ↦→N), et elle est aussi surjective puisque si N ∈B, on peut lui appliquer les mêmes opérations élémentaires L2 ← L1 - L2 , ...Ln+1 ← L1 - Ln+1. On obtient une matrice Nʹ de la forme

( ) N ʹ = 1 (1) (0) M

avec M ∈ Mn (R) dont les coefficients valent 2 ou 0 (puisque 1 - 1 = 0 et 1 - (-1) = 2). De plus, N est inversible donc Nʹ est également inversible donc M ∈ GLn(R). Finalement M ∈A et, par construction, φ(M) = N, ce qui démontre que φ est surjective. Ainsi,

card(A) = card (B).

⊳ Notons maintenant C l’ensemble des matrices de GLn+1(R) à coefficients dans {-1,1} et montrons que

2n+1 card(C ) = 2 card(B )

Pour cela, notons D l’ensemble des matrices diagonales de Mn+1(R) dont les coefficients diagonaux sont ± 1, et ^ D les matrices de D qui ont un 1 en premier coefficient. Il est clair que cardD = 2n+1 et card^ D = 2n.

Par ailleurs, on voit que g définie sur ^ D×B×D par g(D1,M,D2) = D1MD2 est bijective dans C, d’où le résultat voulu.

⊳ On reprend maintenant les notations de l’énoncé et on a

( ) cardC 22n+1 card A ( ) PM∈GLn+1(R ) = 2(n+1)2 = 2n2+2n+1-card(A ) =--2n2- = P N ∈ GLn (R) .


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