350. Soit n ∈ N*. On considère une famille (Xi,j)1≤i,j≤n de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre 1 2. On note A l’événement : la matrice (Xi,j )1≤i,j≤n est inversible. Montrer que P(A) ≥+∏∞ k=1(1 -1- 2k).

Les variables aléatoires Xi,j étant mutuellement indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre 1 2, on peut considérer Ω l’ensemble des matrices à coefficients dans {0,1} dont le cardinal est 2n2 , muni de la tribu B = P(X) et de la probabilité uniforme. Dans ce qui suit, X étant un ensemble, on note |X| son cardinal.

L’application Φ : Ω →Mn(Z⁄2Z), M = (mi,j)↦→M = (m---) i,j est un homomorphisme surjectif tel que ∀M ∈ Ω, det(Φ(M )) = detM. Ainsi

∀M ∈ Ω, Φ(M) = M ∈ GLn(Z ⁄2Z ) =⇒M ∈ A, donc

|A | ≥ |GL (Z⁄2Z )|. n

Déterminer le cardinal de GLn(Z⁄2Z ) revient à compter les bases (v1,...,vn) de (Z⁄2Z)n.

Remarquons d’abord que si F est un sous-espace vectoriel de (Z⁄2Z)n de dimension k ∈ [ [1,n]] et (e1 , … , ek ) est une base de F , alors |F| = 2k. En effet l’application

f : {(Z⁄2Z)k → F (λ,...,λ) ↦→ ∑k λ ⋅e 1k i=1 i i est un isomorphisme.

  • On doit prendre v1 dans (Z⁄2Z )n \{ } 0(Z⁄2Z)n : il y a donc 2n - 1 choix.
  • Pour tout l ∈ [ [1,n - 1]], v1,…,vl étant choisis, il faut prendre vl+1 dans (Z⁄2Z)n \ Vect(v1,...,vl) : il y a donc 2n - 2l choix.

Ainsi, le nombre de bases de (Z⁄2Z)n c’est-à-dire |GLn (Z⁄2Z)| est égal à

n-1 ∏ l=0(2n-2l) = 2n2 n ∏ k=1(1- 1k) 2 où l’on a posé : k = n - l.

Donc |A| ≥ 2n2 n ∏ k=1(1- -1k) 2, d’où P(A) = |A|2 2n ≥ n ∏ k=1(1 - 1k) 2.

Posons pour tout n ∈ N*, pn = ∏n k=1( ) 1- 21k. La suite (pn)n∈N*étant positive et décroissante converge en étant minorée par sa limite +∏∞ k=1( 1) 1- 2k.

En conclusion, P(A) ≥+∏∞ k=1(1- 12k)⋅
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