349. Soient c et λ deux éléments de ]0,1[, (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires réelles définie sur un espace probabilisé (Ω,F,P) telle que X0 = c et, pour n ∈ N et x ∈ R, P(Xn+1 = (1 - λ)x + λ|Xn = x) = x,P(Xn+1 = (1 - λ)x|Xn = x) = 1 - x.

a) Montrer que, si n ∈ N, Xn est presque sûrement à valeurs dans ]0,1[ et que l’ensemble {x ∈ ]0,1[ ; P(Xn = x) > 0} est de cardinal majoré par 2n.

b) Si n ∈ N , calculer E(Xn).

c) Montrer qu’il existe μ2 > 0 tel que ∀n ∈ N,|E(Xn2) - c|≤ exp(-μ2n).

d) Soit p ∈ N * . Montrer qu’il existe μp > 0 et mp > 0 tels que

∀n ∈ N , |E(Xn p ) - c|≤ mp exp(-μpn).

e) Si t ∈ R +* , quelle est la limite de la suite (E(tXn))n≥0 ?

Convergence vers une loi de Bernoulli

a) Notons V n = {x ∈ R∣P(Xn = x) > 0}. On a V 0 = {c} et pour n ∈ N*,

Vn = ((1- λ)Vn-1)∪ (λ+ (1- λ)Vn-1)

On en déduit par une récurrence immédiate que

n Vn ⊂ ]0,1[, Vn estfini, |Vn | ≤ 2

b) On a E(X0 ) = c et, pour n ≥ 1

∑ ∑ E(Xn)= P (Xn = x)x = P(Xn = x,Xn -1 = y)x x∈∑Vn x∈∑Vn,y∈Vn-1 = P(Xn -1 = y) P (Xn = x | Xn -1 = y)x y∈Vn-1 x∈Vn ∑ = P(Xn -1 = y)(((1 - λ)y+ λ)y+ (1 - λ )y(1- y)) y∈∑Vn-1 = P(Xn -1 = y)y = E (Xn-1) y∈Vn-1
et ainsi, ∀n ∈ N , E(Xn) = c.

c) Pour n ≥ 1,

( ) E(X2)= ∑ P(X = y) ((1- λ)y+ λ)2y +((1- λ)y)2(1- y) n y∈Vn-1 n- 1 ∑ ( 2 2 2 ) = P(Xn- 1 = y) y (1- λ )+ λ y y∈Vn-1
donc
2 2 ∑ ( 2 2 2 ) E(Xn-c)=E (X n)- E(Xn- 1) = P (Xn-1 = y) y (1 - λ )+ λ y- y ∑ y∈Vn-1 ( ) = (1- λ2) P(Xn-1 = y) y2 - y = (1 - λ2)E (X2n-1 - Xn -1) y∈Vn-1 = (1- λ2)(E (X2 )- E (Xn -1)) = (1- λ2)E(X2 - c) n-1 n-1
Donc par une récurrence immédiate
2 2 n 2 ∀n ∈ N, E(c- X n) = (1- λ ) (c - c ),

d’où l’on déduit

0 ≤ E (c- X2n) ≤ e-nμ2 o`u μ2 = - ln(1- λ2).

d) Soit p ≥ 2. Pour n ∈ N, E(c - Xpn) = E(Xn - Xpn) ≥ 0 et

p p-1 0≤E(Xn - Xn ) = E(Xn (1 - Xn )) ≤ E (Xn (p- 1)(1 - Xn)) =(p- 1)E(Xn - X2n) = (p - 1)(1- λ2)n(c- c2)
donc
p 2 n 2 0 ≤ E(Xn - Xn) ≤ (p - 1)(1- λ ) (c- c )

d’où l’on déduit

p -nμp 2 2 0≤E(Xn-Xn)≤ mpe ou` mp = (p- 1)(c - c ) et μp = μ2 = - ln (1- λ ).

e) Soient t > 0 et p ∈ N. On a, pour Q ∈ N*

( ) (∑Q (lnt)p ) +∑∞ (lnt)p E(tXn ) = E ------Xpn + E ( ------Xpn) p=0 p! p=Q+1 p!

Or

| | || +∑∞ (lnt)p p|| +∑∞ |lnt|p- || p! Xn||≤ p! |p=Q+1 | p=Q+1

donc

|| ( ) || || ( +∑∞ (lnt)p- p) || +∑∞ |ln-t|p- ||E p! Xn || ≤ p! p=Q+1 p=Q+1
qui tend vers 0 quand Q tend vers + ∞. Ainsi
( ∑Q (lnt)p ) ∑Q (lnt)p +∑∞ (ln t)p E(tXn)=lim E ------Xpn = lim ------E(Xpn) = -----E (Xpn) Q→+∞ p=0 p! Q→+ ∞ p=0 p! p=0 p!
soit E(tXn ) = +∞∑ p=0(lnt)p- p!E(Xp n).

tudions le comportement de E(tXn) lorsque n tend vers + ∞à l’aide du théorème de convergence dominée des séries. On fixe t > 0 ; quand n tend vers + ∞

p { (ln-t)-E (Xpn) -→ 1(lnt)p sip = 0 p! n→+ ∞ -p!-c sip ⁄= 0

et l’on a la domination, pour p ∈ N* et n ∈ N

||(ln t)p || (ln t)p ||-----E (Xpn)|| ≤------ p! p!

Comme +∞∑ p=1p (lnt)p! < +∞, le théorème de convergence dominée s’applique et

+∑∞ p +∑∞ p E(tXn) -→n →+∞ lim (lnt)-E(Xpn) = 1+ (lnt)-c p=0n→+∞ p! p=1 p! = 1+ c(elnt - 1) = (1- c)+ tc

Complément

Quand n → +∞, Xn tend donc à se comporter, en un sens que nous ne tenterons pas de formaliser, comme une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre c. Nous établissons en complément les deux résultats suivants.

Proposition 1 (loi forte). La suite (Xn) converge presque sûrement vers 0 ou 1 et l’on a

P(Xn → 1) = c et P(Xn → 0) = 1 - c

Proposition 2 (loi faible). Soit ε ∈]0,1[. On a quand n → +∞,

P(Xn > 1 - ε) → c et P(Xn < ε) → 1 - c

Pour alléger l’écriture, on suppose que Xn est à valeurs dans [0,1].

Première étape. Xn(1 - Xn) → 0 p.s.

Démonstration. Soit ε > 0

1 1 P(Xn (1 - Xn) ≥ ϵ) ≤ -E(Xn - X2n) =-(1 - λ2)n(c- c2) ε ε

Donc ∑ nP(Xn(1 - Xn) ≤ ϵ) < +∞. On en déduit classiquement, selon Borel-Cantelli, que Xn (1 - Xn ) → 0 p.s.

Deuxième étape. (Xn) converge p.s.

Démonstration.

( ) ( ) ((Xn)dv) = (Xn - X2n)dv ⊔ (Xn - X2n)cvet(Xn)dv

Comme (Xn - X2n) converge presque sûrement vers 0, on a

( ) P((Xn) dv) = P (Xn - X2n) converge vers0 et(Xn )dv

Si u ∈ [0, 1]N , notons Λ(u) l’ensemble de ses valeurs d’adhérence. On a clairement, pour u ∈ [0, 1]N ,

(un - u2n → 0 et(un) dv) ⇐ ⇒ Λ (u) = {0,1}

Ainsi

( 2 ) (Xn - X n)converge vers0 et(Xn )dv = (Λ((Xn )) = {0,1})

Choisissons ε0 ∈] 1[ 0,2 tel que λ + (1 - λ)ε0 < 1 - ε0

On a

⋃ (Λ ((Xn )) = {0,1}) ⊂ (Xn ≤ ε0,Xn+1 ≥ 1- ε0) n∈N

Or P(Xn≤ε0,Xn+1 ≥ 1- ε0) = 0, et donc P(Λ((Xn )) = {0,1}) = 0 et (Xn) converge p.s.

Troisième étape. L’événement (Xn → 0ouXn → 1) est presque certain.

Démonstration. On a

1=P (Xn (1- Xn ) → 0) = P (Xn(1- Xn ) → 0et(Xn) converge) =P (Xn → 0 ouXn → 1)

On note désormais A := (Xn → 0) et B := (Xn → 1).

Quatrième étape. Soit ε > 0. On a lorsque n → +∞,

P ((Xn ≥ ε)∩ A) → 0 (i) P ((Xn < ε)∩ A) → P(A ) (ii) P((Xn ≥ 1- ε)∩ B) → P(B ) (iii) P((X < 1- ε)∩ B) → 0 (iv) n

Démonstration. Prouvons (i). On a P(⋂ (⋃ )) n∈N p≥n((Xp ≥ ε)∩A ) = 0, d’où

P( ) ⋃((Xp≥ε)∩ A) p≥n→ 0

puis P((Xn ≥ ε) ∩A) → 0. On obtient (ii) par passage au complémentaire. Les preuves de (iv) et (iii) sont analogues à celles de (i) et (ii).

Cinquième étape. E(Xn1A) → 0 et E(Xn1B) → P(B).

Démonstration. ∙ Montrons que E(Xn1A) → 0. Soit ε > 0

( ) ( ) 0≤ E (Xn1A ) = E Xn1A1 (Xn≥ε2) +E Xn1A1 (Xn<ε2) ( ( ε) ) ε ≤ P A ∩ Xn ≥ 2 + 2 ≤ ε
pour n assez grand selon (i). Donc E(Xn1A) → 0.

∙ Montrons que E(Xn1B) → P(B). Soit ε > 0

( ) P(B)≥E (Xn1B ) ≥ E Xn1B1 (Xn≥1- ε2) ≥(1 - ε) P (B ∩(X ≥ 1- ε)) ≥ P (B ∩ (X ≥ 1- ε))- ε 2 n 2 n 2 2 ≥P (B)- ε
pour n assez grand selon (ii). Donc E(Xn1B) → P(B).

Sixième étape. Preuve de la proposition 1 (loi forte)

Démonstration.

P(B)=limE(Xn1A )+ lim E(Xn1B ) = lim E (Xn (1A + 1B )) = lim E(Xn) = c


Septième étape. Preuve de la proposition 2 (loi faible)

Démonstration. Soit ε ∈]0,1[.

P(Xn ≤ ε) = P ((Xn ≤ ε)∩ A)+ P ((Xn ≤ ε) ∩B ) → P(A)

selon (i) et (iv). Donc P(Xn ≤ ε) → 1 - c.

De même

P(Xn≥1- ε) = P ((Xn ≥ 1 - ε)∩A )+ P((Xn ≥ 1- ε)∩ B ) → P (B)

selon (ii) et (iii). Donc P(Xn ≥ 1 - ε) → c.
[Liste des corrigés]


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