346. Soit φ : R ² → R de classe C¹. On note Z = φ^-1({0}).

a) Soit z Z tel que ∇φ(z)≠0. Que dire de Z au voisinage de z ?

b) On suppose que Z est compact non vide et que ∇φ ne s’annule pas sur Z. Quelle est l’image de z Z ?

a) On prend une base (,) de R² dans laquelle la seconde coordonnée de ∇φ(z) est strictement positive. On considère d’abord le cas où z = (0,0) et (,) est la base canonique de R². On munit R²de la norme infinie.

Nous allons montrer qu’il existe deux réels rʹ > 0 et r > 0 et une fonction f : -rʹ,rʹ→-r,r de classe C¹ telle que

(1)

(théorème des fonctions implicites dans R²).

D’abord, ∂₂ φ est continue et ∂₂φ(0,0) > 0, donc il existe des réels r > 0 et β > 0 tels que ∂₂ φ(x) ≥ β pour tout x B_o(0,r). La fonction continue tφ(0,t) est de dérivée t∂₂φ(0,t), donc elle est strictement croissante sur [-r,r]. Il vient en particulier φ(0,r) > 0 et φ(0,-r) < 0. Par continuité de φ en (0,r) et (0,-r), on trouve alors un réel rʹ-r,r tel que φ(s,r) > 0 et φ(s, -r) < 0 pour tout s -rʹ,rʹ.

Fixons s -rʹ,rʹ. La fonction γ : t [-r,r]φ(s,t) est continue et strictement croissante, avec γ(r) > 0 et γ(-r) < 0 : elle s’annule donc en un unique point de -r,r que l’on notera f(s). Mieux, comme γʹ est minorée par β sur -r,r, l’égalité des accroissements finis montre que |γ(f(s)) - γ(0)|≥ β|f(s) - 0|, autrement dit |f(s)|≤ β^-1|φ(s,0)|.

On en déduit déjà l’égalité (). En outre, comme φ(0) = 0, le développement limité de φ à l’ordre 1 en (0, 0) donne que φ(s,0) = O(s) quand s tend vers 0, donc f(s) = O(s), en particulier f est continue en 0. Pour α := ∂₁φ(0) et γ := ∂₂φ(0) (non nul), on a, quand s tend vers 0,

et comme f(s) = O(s) le reste est négligeable devant s au voisinage de 0, si bien que f(s) = -αγ^-1 s + o(s). Ainsi f est dérivable en 0.

Par translation, le résultat précédent se généralise comme suit : pour tout (a,b) Z en lequel ∂₂ φ(a, b) > 0, il existe un couple (ρʹ,ρ) (R)² et une fonction g : a-ρʹ,a + ρʹ→b-ρ,b + ρ dérivable en a et telle que

Nous allons en déduire que f est dérivable. Fixons a -rʹ,rʹ et appliquons le résultat au point (a, f(a)) Z, où l’on a effectivement ∂₂φ(a,f(a)) ≥ β > 0 (on notera ρʹ,ρ,g les objets ainsi obtenus). Remarquons ensuite que f et g coïncident au voisinage de a : en effet d’abord (a,f(a)) = (a,g(a)) puisque (a,f(a)) est bien un point de Z ∩ d’abscisse a ; ensuite, par continuité de l’application s (s,g(s)) en a on voit que (s,g(s)) -rʹ,rʹ×-r,r pour s voisin de a, donc g(s) = f(s) pour s voisin de a. Comme g est dérivable en a, on conclut que f l’est aussi.

Ainsi, f est dérivable. Par dérivation de la fonction composée xφ(x,f(x)), on obtient alors

d’où l’on tire Comme f est continue, tout comme les dérivées partielles de φ, cela montre que fʹ est continue. En conclusion, f est de classe C¹.

Revenons au cas général : en utilisant l’isomorphisme affine (s,t)z + s + t, on se ramène à la situation précédente pour obtenir deux réels rʹ > 0 et r > 0 et une fonction f : -rʹ,rʹ→-r,r de classe C¹ telle que

(2)

Plus grossièrement, il existe un voisinage de z dont l’intersection avec Z est le support d’un arc régulier de classe C¹.

b) Nous donnons une solution indépendante de la question précédente.

Pour tout z Z le vecteur Ψ(z) := est évidemment unitaire. Réciproquement, donnons-nous un vecteur unitaire de R² et montrons qu’il existe un point z de Z tel que Ψ(z) = .

Nous introduisons la forme linéaire θ : x R²(∣x). Elle est continue, donc sur le compact non vide Z elle admet un maximum M et un minimum m. En particulier, φ ne s’annule sur aucun des ensembles

On vérifie facilement que chacun d’entre eux est convexe, donc connexe par arcs. Le théorème des valeurs intermédiaires montre donc que la fonction continue φ est de signe constant sur A et B. Mieux, montrons que φ a même signe sur A et B ! On peut en effet compléter en une base orthonormée (,) de R² : le compact Z est borné pour la norme infinie N dans cette base, d’où un réel R > 0 tel que ∀x Z,N(x) < R. Le segment délimité par (m - 1) + R et (M + 1) + R ne rencontre donc pas Z, et a ses extrémités respectivement dans B et A. Une nouvelle application du théorème des valeurs intermédiaires montre que φ a même signe en ces extrémités, et ainsi φ est de signe constant sur A ∪ B.

Nous introduisons maintenant des points a et b de Z tels que θ(a) = M et θ(b) = m.

• Supposons d’abord que φ(z) ≥ 0 pour tout z A∪B. Montrons que φ est positive sur C := {x R² : θ(x) ≥ M}. Soit x C. Pour tout t R on a θ(x + t) > M donc φ(x + t ) ≥ 0 ; en faisant tendre t vers 0 on trouve donc φ(x) ≥ 0 par continuité de φ.

  Soit ensuite R² tel que θ() ≥ 0. Pour tout t R on a θ(a + t) ≥ θ(a) = M, donc

  En faisant tendre t vers 0 il vient donc

  (3)

  Si en outre ⊥ alors cette inégalité s’applique aussi à - et montre que ∇φ(a)⊥. Ainsi, par double orthogonalité ∇φ(a) = λ pour un réel λ (nécessairement non nul). Si λ < 0 on obtiendrait une contradiction en appliquant () à := -∇φ(a). Ainsi λ > 0 puis Ψ(a) = .

• Supposons ensuite que φ(z) ≤ 0 pour tout z A∪B. Alors le cas précédent s’applique au couple (-φ,-), ce qui donne Ψ(b) = .

En conclusion, l’image de Ψ est l’ensemble des vecteurs unitaires de (R²,∥-∥).

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