a) Montrer que G est isomorphe au groupe des matrices de la forme où (a, b) C ^* × C .

b) Pour g G, on note (a_g,b_g) l’unique couple de complexes tel que g : za_gz + b_g. À quelle condition sur (a_g ,b_g) l’application g admet-elle un unique point fixe ?

c) Soit (g₁ , g₂ , g₃) G³. On pose h = ggg. Calculer a_h et b_h en fonction des a_gi et b_gi .

d) On admet que si a_g1a_g2a_g3 = j et si a_g1,a_g2,a_g3 sont tous distincts de j, alors

où α, β, γ désignent les points fixes respectifs de g₂g₃, g₃g₁ et g₁g₂.

On se donne un triangle direct ABC du plan complexe. On note respectivement a,b,c les mesures principales des angles orientés (,), (,) et (,). On note α l’unique point tel que soit une mesure de (,) et soit une mesure de (,) ; β l’unique point tel que soit une mesure de (,) et soit une mesure de (,) ; γ l’unique point tel que soit une mesure de (,) et soit une mesure de (,). Montrer que le triangle αβγ est équilatéral. On appliquera ce qui précède en prenant pour g₁ (resp. g₂ , g₃ ) la rotation de centre A (resp. B, C) et d’angle de mesure (resp. , ).

a) Tout élément de G est une application de C dans C de la forme zaz + b où (a,b) C^*× C. Notons H l’ensemble des matrices de la forme où (a,b) C^*× C et ϕ l’application de G dans H associant à g : zaz + b la matrice A_g = . L’application ϕ est clairement une bijection. Soient g,h G et a,α C^*, b,β C tels que :

∀z C , g(z) = az + b et h(z) = αz + β. On a (en écrivant gh pour g • h),

gh : z a(αz + β) + b = (aα)z + aβ + b, donc gh est associée au couple ,

et = , donc ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h). Il en résulte que (H,.) est un groupe isomorphe à (G,.).

b) Soit z C  ; z est un point fixe de g si et seulement si a_gz + b_b = z, ce qui équivaut à (1 - a_g )z = b_g .

Si a_g ≠ 1, g a pour unique point fixe le point ⋅

Si a_g = 1 et b_g ≠ 0, g n’a pas de point fixe.

Si a_g = 1 et b_g = 0, g = id_C et g possède une infinité de points fixes.

Donc g possède un unique point fixe si et seulement si a_g≠1.

c) On a = ³³³. En effectuant les produits de matrices, on obtient :

Le j dont il est fait référence dans cette question est évidemment e⋅

Supposons que a_g1a_g2a_g3 = j et a_g1,a_g2,a_g3 tous distincts de j, alors a_g2g3 = a_g2a_g3≠1, a_{g3 g1} = a_g3 a_g1 ≠ 1 et a_g1g2 = a_g1a_g2≠1 et d’après b), g₂g₃, g₃g₁ et g₁g₂ possède chacun un unique point fixe noté respectivement α,β,γ. De plus,

b_h = -j² aa_g2 (a_g1 - j)(a_g2 - j)(a_g3 - j)(α + βj + γj²).

La vérification de cette formule (que le texte invite à admettre) est directe quoiqu’un peu lourde et repose sur les remarques : j = a_g1a_g2a_g3 , j³ = 1, 1 + j + j² = 0

et = j.

Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

• ggg = id_C.
• α + βj + γj² = 0.

En effet, si g₁ , g₂ ,g₃ vérifient i), b_h = 0 et il résulte des hypothèses que le facteur de b_h, - j² aa_g2 (a_g1 - j)(a_g2 - j)(a_g3 - j) est non nul, donc α + βj + γj² = 0, ce qui prouve ii).

Réciproquement, supposons l’énoncé ii) vérifié. Alors b_h = 0, et comme a_h = j³ = 1, h = id_C, ce qui prouve i).

Dans ce qui suit, on confond tout point du plan complexe avec son affixe et toute transformation du plan avec l’application de C dans C associée. Ici g₁ (resp. g₂,g₃) est la rotation de centre A (resp. B, C) et d’angle de mesure (resp. ,). Rappelons qu’une rotation du plan complexe est associée à une application affine g : C → C, zαz + β où α U et β C. Notons s₁,s₂,s₃ les réflexions d’axes respectifs (BC), CA) et (AB).

g est la rotation de centre A d’angle de mesure 2a, donc g₁ = s₂s₃ et de même g = s₃s₁, g = s₁ s₂ . Alors ggg = s₂s₃s₃s₁s₁s₂ = id_C. De plus, g₁g₂g₃ est un déplacement d’angle (a + b + c) = , donc a_g1a_g2a_g3 = j. Les applications g₁g₂, g₂g₃ et g₃g₁ sont des déplacements dont l’angle a une mesure principale appartenant à , donc a_g1,a_g2,a_g3 sont tous distincts de j.

Notons s_Bα et s_Cα les réflexions d’axes respectifs (Bα) et (Cα) et remarquons que g₂ = s_Bαs₁ et g₃ = s₁ s_Cα . Alors g₂g₃ = s_Bαs₁s₁s_Cα = s_Bαs_Cα, donc g₂g₃ a pour point invariant α (ce point est unique). De même g₃g₁ a pour unique point fixe β et g₁g₂ a pour unique point fixe γ. L’équivalence entre i) et ii) montre que α + βj + γj² = 0, ce qui indique que le triangle αβγ est équilatéral de sens direct.

Remarque. Le résultat géométrique obtenu en d) est le théorème de Morley (1898).

La démonstration de ce théorème proposée dans l’exercice s’inspire de l’article d’Alain Connes, A new proof of Morley’s theorem, Publications mathématiques de l’I.H.É.S, tome S88 (1998), p. 43-46. Cette démonstration très algébrique étudiant le groupe des transformations affines de la droite permet d’étendre le résultat à tout corps (commutatif) de caractéristique différente de 3.
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