6. a) Soit α un nombre réel irrationnel. Montrer que, pour tout n ∈ N*, il existe (p,q) de Z× [[1, n]] tel que | | ||α - pq|| < 1qn-.

b) Soit d ∈ N * . On suppose que d n’est pas un carré parfait.

Montrer que l’équation a2 - db2 = 1 possède une solution (a,b) ∈ Z2 telle que b≠ 0.

Nous proposons une rédaction unifiée mais les arguments sont essentiellement identiques à ceux de Ivan Gozard, Christophe Jan, Adrien Reisner, François Capacès, Lionel Ponton et Noé Weeks.

a) C’est la version la plus simple du théorème d’approximation de Dirichlet et sa démonstration repose sur le principe des tiroirs. Notons D : R → [0,1[ la fonction partie décimale. Par irrationalité de α, les n + 1 nombres D(α),…,D(nα),D((n + 1)α) sont distincts et appartiennent à [0,1[. Si l’on découpe [0, 1[ en n intervalles [k k+1[ n, n avec k ∈{0,1,…,n- 1} alors on peut affirmer qu’il existe deux nombres distincts, disons D(lα) et D(lʹα) avec l < lʹ qui appartiennent au même intervalle. En particulier, on a |D(lα) - D(lʹα)| < 1 n. En posant q = lʹ- l, on a q ∈ {1, … , n} et |qα - p| < 1 n pour un bon choix de p découlant d’un calcul de partie entière.

b) Il s’agit de l’équation de Pell-Fermat. La question est difficile et n’attendait évidemment pas une réponse immédiate. L’hypothèse sur d assure que √ - d est irrationnel. Examinons les couples (p, q) ∈ Z × N⋆ de la question précédente pour α = √ - d. En faisant tendre n vers + ∞ dans la question précédente, on voit que l’on a inf (p,q)||√ - p|| | d- q| = 0. Cela prouve manifestement que l’ensemble des nombres pq est infini (lorsque n décrit N⋆).

La condition |√ | ||d- pq|| < q1n ≤1q2 implique de plus

√ - 22 √- √- |p+-q--d| √ - -1 √ - √- |p-dq|= |p - dq||p + dq| ≤ q ≤ d+ q2 + d ≤ 1+ 2 d.

Autrement dit, les nombres p2 - dq2 sont uniformément bornés.

Remarquons maintenant que les nombres p2 - dq2 sont entiers. Comme l’ensemble des couples (p, q) est infini, on déduit du point précédent qu’il existe un nombre K ∈ Z (vérifiant |K| ≤ 1 + 2√ d) tel que l’ensemble suivant soit également infini

⋆ 2 2 Λ := {(p,q) ∈ Z × N , p - dq = K}.

L’irrationalité de √- d exclut K = 0. Il nous reste à atteindre le cas K = 1. Si K est un carré tel que √ K divise p et q, alors c’est fini car il suffit de choisir (a,b) = ( p q ) √K-,√K-. Expliquons comment nous ramener, plus ou moins, à cette situation. Pour obtenir de la divisibilité par K, on exploite le caractère infini de (p⁄q)(p,q)∈Λ et la finitude de (Z⁄KZ)2. Ainsi, on a

∃(p,q) ⁄= (pʹ,qʹ) ∈ Λ p ≡ pʹ[K ] et q ≡ qʹ[K ].

Comme remarqué ci-dessus, on peut de plus supposer p q≠pʹ qʹ. On invoque maintenant une astuce de théorie algébrique des nombres : il s’avère que la fonction (p,q)↦→p2 - dq2, analogue à (p, q)↦→ p2 + q2 , est multiplicative en munissant l’ensemble des couples (p,q) de la structure d’anneau héritée de R en identifiant (p,q) et p + q√- d. Autrement dit, si l’on écrit

√ - ʹ ʹ√- ʹ ʹ ʹ ʹ √ - (p + q d)(p+ q d) = (pp + qq d)+ (pq + p q) d

alors on vérifie que l’on a

(p2 - dq2)(pʹ2 - dqʹ2) = (ppʹ + qqʹd)2 - d(pqʹ + pʹq)2.

Cette identité, appelée l’identité de Brahmagupta, généralise l’identité bien connue du cas d = -1. Pour atteindre notre conclusion, on invoque la forme équivalente de cette identité en remplaçant q par - q :

(p2 - dq2)(pʹ2 - dqʹ2) = (ppʹ - qqʹd)2 - d(pqʹ - pʹq)2.

Sous cette forme, on peut écrire

22 ʹ2 ʹ2 ʹ ʹ 2 2 ʹ ʹ p-dq=K,p - dq = K, pp - qq d ≡ p - q d = K [K ], pq - p q ≡ 0 [K].

Finalement le couple d’entiers suivant convient

( ppʹ - qqʹd pqʹ - pʹq ) (a,b) = --------,-------- . K K

Notons que b≠ 0 car p q≠pʹ qʹ.


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