Questions proposées aux élèves de Terminale S

1. Déterminer l’ensemble des couples (a,b) N × N^* tels que 2^b - 1 divise 2^a + 1.

2. Soient n N ^* et P un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n tel que : ∀k , P(k) = 2^k. Calculer P(n + 2).

3. Soit A = M₂(Z) telle que a + d > 1 et ad - bc = 1. On note (u_n)_nN la suite d’entiers définies par : u₀ = 0, u₁ = 1 et ∀n N^*, u_n+1 = (a + d)u_n - u_n-1.

a) ∙ Vérifier que A² = (a + d)A - I₂ où I₂ = .

  ∙ Montrer que : ∀n N, ∀k N, Aⁿ = u_k+1- u_k.

b) Pour tout n N, on note d_n le plus grand diviseur commun des coefficients de la matrice Aⁿ - I₂ . Déterminer lim_n→+∞d_n.

4. Question proposée par Antoine Sirianni.

Dans le plan, M un point et (D) une droite sont donnés. Indiquer une construction de la perpendiculaire à (D) passant par M en utilisant une règle non graduée et en traçant un seul cercle.

Problème : Quelques applications du théorème de Minkowski

L’objet du problème est de proposer en I une démonstration du théorème de Minkowski¹ 1. Hermann Minkowski 1864-1909. Son théorème est un résultat de géométrie des nombres qu’il a introduit dans ses travaux consacrés à la théorie algébrique des nombres. et d’en présenter quelques conséquences dans les parties suivantes. Le résultat I.1.b) est une conséquence d’un lemme connu sous le nom de lemme de Blichfeldt. La section II présente le théorème de Pick exposé et démontré en II.3. Le problème du verger de la section III a été posé et résolu par G. Polya² 2. George Polya 1887-1985, s’est illustré en théorie des nombres, en combinatoire et par ses travaux sur les marches aléatoires. . L’exercice II de l’épreuve du concours général 2016 présente une variante de cette question. La méthode suivie ici appliquant le théorème de Minkowski est due à Akiva et Isaak Yaglom. La section IV propose quelques conséquences arithmétiques du théorème de Minkowski.

Dans tout le problème, le plan est supposé rapporté au repère orthonormé (O; , ). On appelle point intègre tout point du plan dont les deux coordonnées sont des entiers relatifs. I. Un cas particulier du théorème de Minkowski

Soient Q = et E une partie bornée du plan d’aire strictement supérieure à 1. Pour tout z = (x,y) Z², on note Q_z l’image de Q par la translation t_z de vecteur , A étant le point de coordonnées (x,y), E_z l’ensemble E ∩ Q_z, F = et Δ_z = t(E_z). T étant un sous-ensemble quarrable du plan, on note a(T) son aire. Une partie K du plan ou de l’espace est dite convexe si et seulement si : ∀(A, B) K² , [AB] ⊂ K. 1. a) Montrer que F est un ensemble fini.

b) Établir que a(E) = a(E_z) (dans cette somme, il y a un nombre fini de termes non nuls).

c) En déduire que : a(Δ_z) > 1.

d) Montrer alors qu’il existe u,v deux éléments distincts de Z² tels que Δ_u ∩ Δ_v≠∅.

e) En déduire qu’il existe deux points distincts de E, M₁(x₁,y₁) et M₂(x₂,y₂) tels que :
x₁ - x₂ Z et y₁ - y₂ Z.

2. Soit K une partie du plan convexe, bornée, symétrique par rapport à O, d’aire strictement supérieure à 4. On note Kʹ l’image de K par l’homothétie de centre O de rapport ⋅

a) Vérifier que Kʹ est convexe, bornée, symétrique par rapport à O et que a(Kʹ) > 1.

b) Montrer qu’il existe (x₁,y₁) Z² et (x₂,y₂) Z² tels que (x₁,y₁)≠(x₂,y₂) et le point de coordonnées appartient à Kʹ.

c) En déduire que K contient au moins un point intègre distinct de O.

d) Montrer que pour garantir le résultat c),

  ∙ la condition a(K) > 4 est optimale,

  ∙ on ne peut supprimer l’hypothèse K est convexe.

3. Soient A, B deux points du plan de coordonnées respectives (a,b) R² et (c,d) R² tels que O, A, B ne soient pas alignés. On note C le point tel que = + . On appelle réseau de base ( , ) l’ensemble L des points M pour lesquels il existe (λ,μ) Z² tel que = λ + μ . Le nombre δ = = ad - bc est appelé déterminant de L. a) Montrer que l’aire du parallélogramme OACB est égale à .

b) En adaptant la méthode suivie en 2 pour établir 2.c), montrer que si K est une partie du plan convexe, bornée, symétrique par rapport à O telle que a(K) > 4, alors K contient au moins un point de L distinct de O.

c) Énoncer et démontrer un résultat analogue dans l’espace.

II. Le théorème de Pick

1. Soit T un triangle dont les trois sommets sont intègres.

a) Montrer que a(T) ≥⋅

b) On dit que T est primitif si et seulement si les seuls points intègres qu’il contient sont ses trois sommets. En utilisant I.2.a) montrer que T est primitif si et seulement si a(T) = ⋅

Soit n un entier supérieur ou égal à 3, un polygone simple P de n sommets est déterminé par la donnée de n points du plan A₁,…,A_n que l’on appelle les sommets de P . On suppose que la ligne polygonale A₁ … A_nA₁ ne se recoupe pas, autrement dit que la suite de segments _1≤k≤n où A_n+1 = A₁ vérifie :

La ligne polygonale A₁…A_nA₁ que l’on appelle le bord de P partage le plan en deux régions disjointes, l’une non bornée, l’autre bornée et contenant le bord de P appelée intérieur de P et notée int (P). Une diagonale de P est un segment ayant pour extrémités deux sommets non consécutifs de P et inclus dans int(P). Enfin une triangulation de P est la donnée d’une famille finie de triangles (T_j)_1≤j≤m (les T_j étant entendus comme l’enveloppe convexe de leurs sommets, c’est-à-dire comme plaques triangulaires) dont la réunion est int(P) et telle que pour toute paire j,k d’indices distincts, T_j ∩ T_k = ∅ ou bien T_j ∩ T_k est réduit à un point qui est alors un sommet commun ou bien T_j ∩ T_k est un segment qui est alors une arête commune. Dans la suite, on appelle polygone simple intègre tout polygone simple dont tous les sommets sont intègres.

2. a) Montrer que tout polygone simple d’au moins quatre sommets possède une diagonale.

b) Montrer que tout polygone simple de n sommets admet une triangulation formée de n - 2 triangles dont les sommets sont des sommets de P .

c) En déduire que tout polygone simple intègre admet une triangulation formée de triangles intègres.

d) Montrer alors que tout polygone simple intègre admet une triangulation formée de triangles intègres primitifs.

L’aire du polygone simple P que l’on note a(P) est l’aire du domaine plan int(P). Un point strictement intérieur à P est un point de int(P) non situé sur le bord de P .

3. Soit P un polygone simple intègre. On note B le nombre de points intègres situés sur le bord de P et I le nombre de points intègres strictement intérieurs à P . Montrer que :

Ind. Remarquer d’abord que le résultat est vrai si P est un triangle intègre primitif. Dans le cas général, considérer une triangulation de P formée de m triangles intègres primitifs et montrer en déterminant de deux façons la somme des angles de tous ces triangles que m = 2I + B - 2.

4. Soit ABC un triangle intègre. Montrer que ABC ne peut être équilatéral.

5. Soient n N ^* et Q un carré du plan de côté de longueur n. On note N le nombre de points intègres appartenant à int(Q).

a) Montrer que : N ≤ (n + 1)².

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que N = (n + 1)².

III. Le problème du verger

Soient R N ^* , Δ_R le disque fermé de centre O et de rayon R, E_R l’ensemble des points intègres de Δ_R distincts de O. En tout point M de E_R, on suppose planté un arbre figuré par le disque fermé de centre M et de rayon r > 0 ; tous les arbres centrés en un point de E_R ont même diamètre 2r et forment un verger V _R. Une ligne de vision est une demi-droite d’origine O dont tous les points sont visibles depuis O, c’est-à-dire dont la vue n’est obstruée par aucun des arbres formant V _R . On se propose de montrer que si r < , il existe une ligne de vision pour le verger V _R et si r > , il n’existe aucune ligne de vision. Dans ce qui suit, M étant un point du plan et δ désignant une droite du plan, on note d(M,δ) la distance de M à δ.

1. Soit A le point de coordonnées (R,1).

a) Montrer que E_R ∩ [OA] = ∅.

b) Montrer que : min_MERd(M,(OA)) = ⋅

c) En déduire que si r < , la demi-droite d’origine O qui contient A est une ligne de vision.

2. On suppose que r > ⋅

a) Montrer que cette condition impose R ≥ 3 et qu’alors < r ≤⋅

Soit ε > 0 tel que r = + ε. On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe une ligne de vision. Soit P le point d’intersection de cette demi-droite avec C_R le cercle de centre O et de rayon R. Soient A et B les deux points de la tangente en P à C_R tels que OA = OB = + , et Aʹ, Bʹ les symétriques respectifs de A et B par rapport à O. On note K l’intérieur du rectangle ABAʹBʹ.

b) Montrer que K contient un point intègre Q tel que ⋅ > 0. c) Montrer que Q E_R.

d) En déduire que d(Q,(OP)) < r. Relever une contradiction et conclure.

IV. Quelques applications arithmétiques

1. Soit (a₁ , a₂ , b₁,b₂) R⁴ tel que d = a₁b₂ - a₂b₁≠0 ; pour i , on note φ_i : R²-→R, (x, y) a_i x + b_i y.

a) Soit (λ₁ , λ₂ ) R tel que λ₁λ₂ ≥. Montrer en appliquant I.3.b) qu’il existe (x, y) Z ² \ tel que pour tout i , ≤ λ_i.

b) Montrer qu’il existe (x,y) Z² \ tel que + ≤.

c) En déduire qu’il existe (x,y) Z² \ tel que ≤.

d) Montrer qu’il existe (x,y) Z² \ tel que ² + ² ≤.

2. Soit p un nombre premier impair.

a) Montrer que si p est somme de deux carrés d’entiers alors p ≡ 1[4].

Réciproquement, on suppose que p est premier tel que p ≡ 1[4].

b) Montrer qu’il existe a Z, tel que a² ≡-1[p].

c) On pose X = pu + av et Y = v où (u,v) Z². Montrer qu’il existe (u,v) Z² \ tel que : X² + Y ² ≤p.

d) En déduire que p est somme de deux carrés d’entiers.

e) Caractériser l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls qui sont somme de deux carrés d’entiers.

3. Soit α R \ Q et Q N tel que Q ≥ 2.

a) Montrer qu’il existe (x,y) Z² \ tel que : ≤, ≤ Q et x ∧ y = 1.

b) En déduire que pour tout Q ≥ 2, il existe un couple (x_Q,y_Q) Z × N^* tel que ≤ ≤ et x_Q ∧ y_Q = 1.

c) Montrer alors qu’il existe une infinité³3. D’après le théorème de Hurwitz, il existe une infinité de nombre rationnels r = avec (a,b) Z ×N^*, a ∧ b = 1 et ≤ et la constante est optimale. de nombres rationnels r = avec (a,b) Z × N^*, a ∧ b = 1 et ≤⋅

Solutions des questions 1,2 et 3 parues dans la RMS 127-2

1. Soient P un polynôme à coefficients dans Z. On suppose qu’il existe deux entiers relatifs distincts tels que P(a)P(b) = -(a - b)².

Montrer que P(a) + P(b) = 0.

Solution. P Z [X] , donc pour tout (a,b) Z², a - b∣P(a) - P(b). En effet pour tout k N^*, a^k - b^k = (a - b)a^lb^k-1-l et a^lb^k-1-l Z si a,b sont des entiers relatifs. En particulier, si a≠ b, Z.

Considérons le polynôme Q(x) = x² -x + 1 : Q est à coefficients entiers. Posons pour la suite m = ⋅ Les racines xʹ et xʹʹ de Q sont caractérisées par : xʹ + xʹʹ = et xʹxʹʹ = 1 = ⋅, donc à l’ordre près

xʹ = et xʹʹ = - = et xʹ,xʹʹ sont des nombres rationnels.

Soit r = où p Z, q N^* et p ∧ q = 1. Si r est racine de Q alors

p² - mpq + q² = 0 (1).

D’après (1), q∣ p² . Or p∧q = 1 donc p² ∧q = 1, par conséquent q = 1. Alors d’après (1), p∣1, donc p , d’où r . Donc xʹ = xʹʹ = ±1 puisque xʹxʹʹ = 1.

Ainsi, = -, donc P(a) + P(b) = 0.

2. Soit f une application de R₊ dans R dérivable, bornée telle que :
∀x R ₊ , f(x)fʹ(x) ≥ sinx.

Montrer que f n’a pas de limite quand x tend vers + ∞.

Solution. Soit A R₊ tel que ∀x R₊, ≤ A. Soit F : R₊-→R,
x f² (x) + 2 cosx. On a : ∀x R₊, ≤ A² + 2, ce qui montre que F est bornée. De plus, F est dérivable et ∀x R₊, Fʹ(x) = 2 ≥ 0. F est donc croissante ; étant bornée, F a une limité finie L quand x tend vers + ∞. Supposons par l’absurde que f ait une limite quand x tend vers + ∞. Puisque f est bornée, cette limite l est finie. Alors lim _x→+∞cosx = lim_x→+∞ = , ce qui est absurde . En effet, cos = (-1)ⁿ est le terme général d’une suite divergente et lim_n→+∞nπ = +∞.

Ainsi f n’a pas de limite quand x tend vers + ∞.

3. Soit E l’ensemble des n N^* pour lesquels il existe n nombres complexes distincts z₁,…,z_n tels que : min _{i≠ j}≥ max_1≤k≤n.

Montrer que E possède un plus grand élément que l’on précisera.

Solution. Posons r = max_1≤i≤n et notons dans le plan complexe M_j le point d’affixe z_j ; 1 ≤ j ≤ n. Tous les points M_j se trouvent dans le disque de centre O et de rayon r. Les z_j étant distincts, il y a (au moins) n - 1 de ces nombres distincts de 0. Quitte à renuméroter les z_j, on peut supposer que ces n - 1 nombres sont z₂,…,z_n et que leurs arguments principaux sont rangés dans l’ordre croissant. Alors en notant O l’origine et en convenant que M_n+1 = M₂, = 2π, . Il existe donc l tel que ≤ ⋅

Supposons n ≥ 8 et posons α = .

L’homothétie de centre O et de rapport λ = ≥ 1 transforme le triangle OM_lM_l+1 en le triangle OTU tel que OT = r et OU = x ]0,r].

Alors = M_lM_l+1 ≤ TU et TU² = f(x) = x² + r² - 2rxcosα.

La fonction f ayant un minimum en x₀ = r cosα on a :

∀x ]0, x₀ ], f(x) < f(0) = r² et ∀x [x₀,r],f(x) ≤ f(r) = 2r²(1-cos(α)) = ² ≤² < r² car 0 < sin < sin = ⋅ Ainsi TU < r donc < r, ce qui contredit l’hypothèse. Par conséquent n ≤ 7.

Pour n = 7, considérons la configuration formée par 7 points distincts dont un en O et les six autres formant un hexagone régulier. Il est alors clair que les affixes de ces 7 points forment une famille répondant à l’hypothèse. Le plus grand élément de E est donc l’entier 7.
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