[Questions-Reponses]

Q938. Soit n un entier au moins égal à deux. Dans le groupe Sn des permutations d’ordre n, on note f(n, k) le nombre d’éléments qui sont des puissances ke. Soit p et q des nombres premiers diviseurs de n! tels que p < q. Est-il vrai que f(n,p) < f(n,q) ? (ric Pité)

Q939. Dans l’exercice 334 de la RMS 125 3, on montre que si une fonction u : R → R de classe C2 vérifie |u(x)| ≤ 1 pour tout x et u2(0) + uʹ2(0) = 4, alors u + uʹʹ s’annule au moins une fois sur R.

a) Peut-on affirmer que u + uʹʹ s’annule plus d’une fois, voire une infinité de fois ?

b) Reprendre la question sous les hypothèses : |u(x)|≤ 1 pour tout x, u2(0) + uʹ2(0) = c2 où c est un réel strictement positif. (Marcin Pulkowski)

Q940. Montrer que la suite de Fibonacci modulo n où n est un entier au moins égal à deux est périodique et déterminer sa période. (Omar Sonebi)

Q941. On note S l’espace de Schwartz sur R, c’est-à-dire l’espace vectoriel des fonctions f ∈ C∞ (R , R ) telles que supx∈Rn|xnf(m)(x)| < +∞ pour tout (m,n) ∈ N2. Pour tout entier p ≥ 1, on note

{ ∫ ( ) ∫ } Jp:=inf fʹ(x)2 + x2pf (x)2 dx, f ∈ S et f(x)2dx = 1 R R
On peut montrer que J1 = 1 (et atteint pour f(x) = ±14√π-e-x2⁄2 , première ≪ fonction propre de l’oscillateur harmonique - d2 x + x2 ≫).

a) Est-il vrai que (Jp)p≥1 est monotone à partir d’un certain rang ?

b) Est-il vrai que limp→+∞Jp = π2 4 ? (Rafik Imekraz)

Q942. Cette question fait suite à la réponse R499 ci-après et à l’article ≪ Quel est le maximum de la dimension d’un sous-espace vectoriel de M(n, R) dont tout élément non nul est inversible ? ≫  (page § de son numéro).

On note G(n) l’ensemble constitué de GL(n, R) et de la matrice nulle de M(n, R).

a) En conséquence du théorème d’Adams (énoncé dans l’article mentionné ci-dessus), M(6, R) ne contient pas de sous-espace vectoriel de dimension trois inclus dans G(6). Prouver élémentairement ce résultat.

b) Deux sous-espaces vectoriels F et G de M(n, R) sont dits équivalents s’il existe P et Q dans GL(n, R ) tels que M↦→PMQ envoie F sur G.

On note H l’algèbre des quaternions, c’est-à-dire le sous-espace vectoriel de M(4, R) engendré par les matrices

() |1000| |0100| (0010) 0001 , ( ) |0 - 1 0 0| |1 0 0 0| (0 0 0 1) 0 0 - 1 0 , ( ) | 0 0 - 1 0| | 0 0 0 - 1| ( 1 0 0 0) 0 1 0 0 , ( ) | 0 0 0 - 1| | 0 0 1 0 | ( 0 - 1 0 0 ) - 1 0 0 0 .

Existe-t-il dans M(4, R) un sous-espace vectoriel de dimension quatre inclus dans G(4) et non équivalent à H ? (Richard Antetomaso et Alain Tissier)
[Questions-Reponses]


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