29. Soient A ∈ Mn(R) et Graphe(A) l’ensemble {(X,AX);X ∈ Rn}.

a) Montrer que Graphe(A) est un sous-espace vectoriel de R2n et qu’il caractérise A.

b) quelle condition un sous-espace vectoriel de R2n est-il le graphe d’une matrice ?

c) Soient (e1 , … , en,f1,…,fn) la base canonique de R2n et Rotk l’isomorphisme de R2n qui échange les composantes selon ek et fk sans toucher aux autres. quelle condition sur A existe-t-il une matrice Aʹ telle que Graphe(Aʹ) = Rotk(Graphe(A)) ? Dans ce cas, calculer Aʹ.

d) On note Sweepk(A) la matrice Aʹ de la question précédente. Que dire, sous réserve d’existence à chaque étape, de Sweep1 • Sweep2 •⋅⋅⋅• Sweepn(A) ?

Le corrigé publié dans le numéro précédent était erroné. Nous prions nos lecteurs de bien vouloir accepter nos excuses.

Comme dans l’énoncé, on identifiera Rn avec l’espace des vecteurs colonnes Mn,1(R), dont on notera (E1 , … , En ) la base canonique (qu’on évitera de confondre avec (e1,…,en)).

a) L’ensemble Graphe(A) est l’image de l’application linéaire X↦→(X,AX). C’est donc un sous-espace vectoriel de R2n. L’application induite, de Rn dans Graphe(A), est une bijection et il existe, pour tout k, un unique vecteur Ck ∈ Rn, tel que (Ek,Ck) ∈ Graphe(A). Ce vecteur n’étant autre que la k-ième colonne, on voit que le graphe caractérise la matrice A.

b) Soit G un sous-espace vectoriel de R2n. Ce qui précède montre que si G est le graphe d’une matrice, alors la première projection (X,Y ) ∈ Rn × Rn↦→X induit un isomorphisme de G dans Rn. Cette condition est aussi suffisante car, si elle est vérifiée, G est le graphe de la matrice (C1 , … , Cn ) où Ck est l’unique vecteur tel que (Ek,Ck) ∈ G.

c) On a Graphe (A) = V ect( ∑n ) (ej + i=1ai,jfi)1≤j≤n. Donc Rotk(Graphe(A)) est engendré par le vecteur ak,k ek + fk + ∑ i⁄=kai,kfi et les vecteurs ej + ak,jek + ∑ i⁄=kai,jfi pour j ⁄= k. D’après b) , c’est le graphe d’une matrice Aʹ si et seulement si ak,kEk et (Ej + ak,jEk)j⁄=k forment une base de R n , soit ak,k ⁄= 0. En notant Cʹi les colonnes de Aʹ et Ci les colonnes de A, il vient :

{ ʹ ak,kC k = Ckʹ + Ek -ʹ ak,kEk ∀j ⁄= k, Cj + ak,jCk = Cj - ak,jEk

d’où

{ ʹ -1- Ck = ak,k(ʹCk +(1 -a akk,j,k)Ek ) ∀j ⁄= k, Cj = Cj - ak,k(Ck + Ek)

d) Posons B = Sweep1 • Sweep2 •⋅⋅⋅• Sweepn(A). On a

( ) ( ∑n ) G raphe(B ) = V ect( fj + ai,jei ) i=1 1≤j≤n

soit, en notant Cʹj la j-ieme colonne de B : ∀j,  n ∑ i=1ai,jCʹj = Ej, ou encore AB = In. Ainsi

Sweep1 •Sw eep2 •⋅⋅⋅•Sw eepn(A) = A-1.

Remarque : On obtient ainsi un algorithme de calcul de A-1 parent proche de l’algorithme de Gauss (mais non identique).
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