[Épreuves orales des concours]Algèbre
Calculer S + T et ST . En déduire S et T .
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![n∑
k=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4978x.png)
![n∑
k=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4979x.png)
![∑n
i=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4980x.png)
![Xi
i!](/numeros/RMS127-4/RMS127-4981x.png)
![2
n](/numeros/RMS127-4/RMS127-4982x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![=⇒](/numeros/RMS127-4/RMS127-4983x.png)
b) Soit P = a0 + a1X + + anXn
R[X] avec a0 ≥ a1 ≥
≥ an > 0. On pose
Q = (1 - X)P. Soit z
C tel que Q(z) = 0. Montrer que a0 =
(ak-1 -ak)zk + anzn+1. En
déduire que si P(z) = 0 alors |z|≥ 1.
c) Soit P = a0 + a1X + + anXn
R[X] où les ai sont dans R+*. On pose
r = min
. Montrer que les racines de P sont de module
≥ r.
Ind. Considérer = P(rX).
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![( 0 0 1 )
( 0 0 0 )
0 0 0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4990x.png)
a) Les sous-espaces P et D sont-ils supplémentaires dans E ?
b) Déterminer la matrice dans la base canonique du projecteur sur P parallèlement à D.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
a) Montrer que Imf = Vect.
b) Montrer qu’il existe λ R tel que f2 = λf. Déterminer les valeurs propres de f en fonction de
λ.
c) Soit H un sous-espace de E tel que E = H ⊕ Vect(a). Soit u (E) tel que : ∀x
H,
u(x) = x.
i) Montrer qu’il existe μ R tel que u(a) - μa
H. En déduire que Im
⊂ H.
ii) Montrer que u2 - (μ + 1)u + μid = 0. Si μ = 1, l’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
a) Montrer que Im(f) et Ker(g) sont supplémentaires dans E.
b) Justifier que f(Im(g)) = Im(f).
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
a) Montrer que u ne possède pas de valeur propre réelle.
b) Soit a E \ {0}. Montrer que (a,u(a)) est libre.
c) Soient a, b dans E avec b ⁄ Vect(a,u(a)). Montrer que
est une base de E.
Quelle est la matrice de u dans cette base ?
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
a) On suppose que u et v commutent. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont stables par v.
a) Montrer que u laisse stable toutes les droites de E si et seulement si u est une homothétie.
![(a b)
c d](/numeros/RMS127-4/RMS127-4994x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
a) Montrer que P =
s’écrit comme le produit de deux matrices, la seconde étant diagonale par blocs.
b) En déduire det(P).
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-4996x.png)
a) Montrer que μ est un endomorphisme de n(
).
b) Trouver Ker μ.
![( )
i 0 0
( 0 0 1)
0 - 1 0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4997x.png)
a) i) Calculer M2. La matrice M est-elle inversible ?
ii) Exprimer, pour n N*, Mn en fonction de M et M2.
b) Soit M
3 (R) telle que M3 + M = 0 et f l’endomorphisme canoniquement associé à M.
On suppose que f est injectif.
i) Montrer que M est inversible et que M2 = -I3.
ii) Calculer det(M2) et montrer qu’on aboutit à une absurdité.
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
a) Montrer que C(f) est un -espace vectoriel
b) Soit (e1 , e2 ) la base canonique de 2. Soit x = x1e1 + x2e2
R2. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour que (e1 - x,e2 - x) soit une base de
2.
c) Généralisation. Soit (e1,…,en) la base canonique de n et soit x = x1e1 +
+ xnen dans
n .
i) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (e1 - x,…,en - x) soit une base de
n .
ii) Soit f l’endomorphisme de n tel que pour tout entier i
[[1,n]], f(ei) = ei - x. Trouver
les valeurs propres de f avec leurs multiplicités.
iii) Sous quelles conditions l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
iv) Déterminer la dimension du commutant de f.
![( )
0 1 ⋅⋅⋅ 1
|||1. 0. ⋅⋅⋅ 0.|||
( .. .. ..)
1 0 ⋅⋅⋅ 0](/numeros/RMS127-4/RMS127-4999x.png)
![( )
1 1 1 1
||2 2 2 2||
(3 3 3 3)
4 4 4 4](/numeros/RMS127-4/RMS127-41000x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![( )
|0 0 0 d|
|(10 01 00 cb|)
0 0 1 a](/numeros/RMS127-4/RMS127-41001x.png)
a) Déterminer le polynôme caractéristique de A(a,b,c,d).
b) Soit x
. La matrice A(x,-x2,x3,0) est-elle diagonalisable sur
? sur C ?
![( )
(20 11 --42)
1 1 -3](/numeros/RMS127-4/RMS127-41002x.png)
![(11-2)
(22-4)
11-2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41003x.png)
a) Calculer A2 , A3. En déduire une expression de An pour tout n N.
b) Calculer les valeurs propres de A. Est-elle diagonalisable ?
c) Montrer que les vecteurs propres de A sont aussi des vecteurs propres de B. La matrice B est-elle diagonalisable ?
d) Soient (x, y)
2 et M(x,y) = xA + yB. Montrer que M(x,y) est diagonalisable et donner
l’expression de (M(x,y))n pour tout n
N.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41004x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41005x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
a) Montrer que D appartient à (E).
b) Quelle est la matrice de D dans la base (sin,cos,a,b) ?
c) Déterminer les valeurs propres de D et calculer D-1.
![(1 0 0)
(0 - 2 9)
0 - 1 4](/numeros/RMS127-4/RMS127-41006x.png)
a) Déterminer les valeurs propres (complexes) de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
b) Calculer P(A). En déduire A-1.
c) Montrer que A est semblable à T = .
![( )
( 3 - 3 -3)
-52 -25 2-5](/numeros/RMS127-4/RMS127-41008x.png)
![(001)
(000)
000](/numeros/RMS127-4/RMS127-41009x.png)
![(2 1)
1 2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41010x.png)
![( | | )
-A-|A-|A---
( -A-|A-|A--)
A A A](/numeros/RMS127-4/RMS127-41011x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![( | )
-In-|-In-
In In](/numeros/RMS127-4/RMS127-41012x.png)
![(3A2A )
2A3A-](/numeros/RMS127-4/RMS127-41013x.png)
a) Montrer que P est inversible et trouver son inverse.
b) Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A l’est.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![( | )
-aIn-|In-
0 bIn](/numeros/RMS127-4/RMS127-41014x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41015x.png)
a) Montrer que f est un endomorphisme de n(
).
b) Est-il diagonalisable ?
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
a) Déterminer les éléments propres de Φ. L’endomorphisme Φ est-il diagonalisable ?
b) Déterminer sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41016x.png)
![X2-1-
2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41017x.png)
a) Montrer que f est un endomorphisme de E.
b) On suppose que n = 3.
i) Donner la matrice de f dans la base canonique de E.
ii) Montrer que f est un projecteur ; déterminer Ker(f) et Im(f).
c) On suppose maintenant que n ≥ 4.
i) Montrer que dim(Ker(f)) ≤ 2, et en déduire que Ker(f) = V ect(X,1 + X2).
ii) Montrer que (f(1),f(X3),f(X4),…,f(Xn)) est une base de Im(f).
iv) Montrer que si Q Imf alors Qʹ(1) = Qʹ(-1) = 0.
En déduire que Im(f) = {Q E, Qʹ(1) = Qʹ(-1) = 0}.
v) Calculer les valeurs propres de f. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41018x.png)
a) Justifier que f est un endomorphisme de Rn[X].
b) Soit k {0, … ,n}. Montrer qu’il existe un unique polynôme Pk unitaire de degré k tel que
f(Pk ) = -2kPk .
a) On suppose A inversible. Montrer que χAB = χBA.
b) On suppose A non inversible. Montrer que A-In est inversible pour p
N* assez grand. En
déduire que χAB = χBA.
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
a) Soit H le sous-espace vectoriel de 3 d’équation x - y + z = 0. Déterminer le projeté
orthogonal de X
R3 sur l’orthogonal de H.
b) En déduire le projeté orthogonal de X sur H, puis la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur H.
c) Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à H.
![⟨,⟩](/numeros/RMS127-4/RMS127-41020x.png)
![⟨P,Q ⟩](/numeros/RMS127-4/RMS127-41021x.png)
![∫ 1
-1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41022x.png)
![P(t)Q-(t)
√1-t2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41023x.png)
a) Montrer l’existence de pour tous P,Q
R[X]. Montrer que
est un produit scalaire
sur R [X].
b) Soit n N . Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme Tn tel que, pour tout θ
R,
Tn (cos θ) = cos (nθ).
c) Montrer que la famille (Tn)nN est une famille orthogonale.
d) Soit F = R 1 [X]. Calculer la distance de X2 à F .
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
![( )
0 -1
1 2cosθ](/numeros/RMS127-4/RMS127-41026x.png)
a) Calculer ∥v1 ∥2, ∥v2∥2 et ⟨v1,v2⟩.
b) Soit y = y1 v1 + y2v2 dans 2. Calculer ∥y∥2 et ∥φ(y)∥2. Montrer que φ appartient à
(
2 ).
c) Soit P la matrice de passage de ε à v. Calculer P-1.
d) Exprimer la matrice Mʹ de φ dans la base canonique.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![L](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4c.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
a) Montrer que ∀(x,y) E2, ⟨f(y),x⟩ = -⟨f(x),y⟩.
b) Comparer Ker(f) et l’orthogonal de Im(f).
![⟨,⟩](/numeros/RMS127-4/RMS127-41027x.png)
a) Montrer que u est dans Imp et que r(u) - λu est dans (Imp)⊥.
b) Montrer que λ∥u∥2 = ∥r(u)∥2.
c) Montrer que λ est dans [0,1].
![1
3](/numeros/RMS127-4/RMS127-41028x.png)
![( )
( aa+ 1 a+-21 2a )
-2 -a a+ 1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41029x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![( )
0 - a c
( a 0 - b)
- c b 0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41030x.png)
a) Montrer que M + I3 est inversible.
b) Soit K = (M - I3)(M + I3)-1. Montrer que K est une matrice orthogonale.
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
a) Calculer t (t XAX) et en déduire que tXAX = 0.
b) Montrer que si A possède une valeur propre réelle alors celle-ci est égale à 0. En déduire que N et M sont inversibles.
c) Montrer que M et N commutent, que M et N-1 commutent. On pose W = MN-1. Montrer que W est une matrice orthogonale et que - 1 n’est pas valeur propre de W .
d) Soit U
n (
) dont - 1 n’est pas valeur propre. Montrer qu’il existe une unique matrice
antisymétrique A
n(
) telle que U = (In - A)(In + A)-1.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![t
(M + M )](/numeros/RMS127-4/RMS127-41031x.png)
b) Trouver M
2(C) telle que
2 = 0 et (M + tM)≠0.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![M](/numeros/RMS127-4/cmsy10-4d.png)
![{ ∑n }
j=1 |ai,j|,i ∈ {1,...,n}](/numeros/RMS127-4/RMS127-41033x.png)
![{|λ|,λ ∈ Sp(A )}](/numeros/RMS127-4/RMS127-41034x.png)
a) Soit Aθ =
. Calculer ∥Aθ ∥ et ρ(Aθ).
b) Soient A
n(C), λ
C une valeur propre de A et X = t(x1,…,xn) un vecteur propre
associé. Montrer que |λ||xi|≤
|ai,j||xj| pour tout i. En déduire que ρ(A) ≤∥A∥.
c) Soient A
n(C) et k
N*. Montrer que ρ(Ak) = ρ(A)k.
d) Soient A et B dans n(C). Montrer que ∥AB∥≤∥A∥×∥B∥.
e) Soit A
n (C) diagonalisable. Montrer que Ak → 0 si et seulement si ρ(A) < 1.
![n
∑
k=1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41037x.png)
![√1-
k](/numeros/RMS127-4/RMS127-41038x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41039x.png)
![∫ x
n](/numeros/RMS127-4/RMS127-41040x.png)
a) Montrer que, pour n N*, il existe un unique xn vérifiant gn(xn) = 1.
b) Trouver un équivalent de xn.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
a) Soient α R et, pour n
N*, vn = nα. Montrer que (vn) vérifie (*) si et seulement si α ≤ 1.
Déterminer dans ce cas la limite de la suite de terme général vn⁄n.
b) Soit (wn ) une suite réelle telle que : ∀(n,m) (N*)2, wn+m = wn + wm. Montrer
qu’une telle suite est arithmétique. Déterminer la limite de la suite de terme général
wn ⁄n.
c) Soit (un ) une suite vérifiant (*). On suppose que la suite de terme général un⁄n
est minorée et on pose : α = inf . Montrer que (u
n⁄n) a pour limite
α.
Ind. On pourra fixer ϵ > 0 et considérer q N* tel que α ≤ uq⁄q ≤ α + ϵ.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy7-32.png)
![∑
n∈N](/numeros/RMS127-4/RMS127-41042x.png)
![2n](/numeros/RMS127-4/RMS127-41043x.png)
a) Pour (a, b)
2, montrer que 2|ab|≤ a2 + b2.
b) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites numériques réelles.
c) Montrer que f : (xn)
N
x0
est une application linéaire.
d) Soit ϕ: ((xn ),(yn)) E2
xnyn
. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E. En
déduire que
est l’expression d’une norme sur E.
On munit E de cette norme notée N.
e) Montrer que, pour (xn) dans E, la suite (xn + xn+1) est aussi dans E.
f) Soit g: (xn ) E
(xn + xn+1)
E. Montrer que g est lipschitzienne pour la norme
N.
a) On pose Tn = φ(k). Montrer que
=
Tk
-
+
.
b) Conclure quant à la convergence de .
a) Montrer que (bn) est de signe fixe à partir d’un certain rang.
b) Montrer que les séries de termes généraux an et bn sont de même nature.
![un+1
un](/numeros/RMS127-4/RMS127-41060x.png)
![vn+1
vn](/numeros/RMS127-4/RMS127-41061x.png)
a) Montrer que un = O(vn).
b) Soit (α, β) (
+)2, α ⁄= β. Soit wn =
. On suppose que
= 1 -
+ o
.
i) Trouver un équivalent de -
.
ii) Montrer que la série de terme général un converge lorsque β > 1, et diverge lorsque β < 1.
b) Pour tout n N, on pose un = sin(π(2 +
)n). Montrer que, pour tout n
N,
(2 +
)n + (2 -
)n est un entier pair. Montrer que un = -sin(π(2 -
)n) et en déduire que
la série de terme général un converge.
c) Soit P = X3 + a1X2 + a2X + a3 C[X]. On note x1,x2,x3 les racines complexes de P
(éventuellement répétées avec leur ordre de multiplicité). On suppose que |x1| > 1, |x2| < 1 et
|x3 | < 1. On pose σ1 = x1 + x2 + x3, σ2 = x1x2 + x2x3 + x3x1, σ3 = x1x2x3 et, pour n
N,
Sn = x
+ x
+ x
.
i) Exprimer a1 ,a2,a3 à l’aide de σ1,σ2,σ3.
ii) Calculer σ1 σ2 - 3σ3.
iii) Exprimer S1,S2,S3 en fonction de σ1,σ2,σ3.
iv) Montrer que, pour p N, Sp+3 - σ1Sp+2 + σ2Sp+1 - σ1Sp = 0.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![(1-1)
kn](/numeros/RMS127-4/RMS127-41075x.png)
a) tudier la monotonie de (un).
b) La suite (un ) est-elle convergente ?
c) tudier la convergence de (vn+1 - vn) avec vn = ln(n-1⁄kun).
d) tudier la convergence de (vn).
e) En déduire un équivalent simple de (un).
f) tudier la convergence des séries de termes généraux un, et (-1)nu
n.
g) Montrer que la suite de terme général wn = vérifie les conditions de
l’introduction.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41080x.png)
![1--t3-
t](/numeros/RMS127-4/RMS127-41081x.png)
a) Montrer que ϕ réalise une bijection de ]0,1] sur [0,+∞[. On note u la réciproque de ϕ.
b) Montrer que u est dérivable.
c) Montrer que, pour x R+*, u(x)3 + xu(x) - 1 = 0. En déduire que : |uʹ(x)|≤
.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41083x.png)
![x cos(x)-sin(x)
-----x3----](/numeros/RMS127-4/RMS127-41084x.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![∫ x
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41085x.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41086x.png)
![---cos(3x)--
sin(x)+sin(2x)](/numeros/RMS127-4/RMS127-41087x.png)
![∫ +∞
1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41088x.png)
![arcta2n(x)
x](/numeros/RMS127-4/RMS127-41089x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41090x.png)
a) Étudier la convergence de la suite (fn). Préciser la limite.
b) Pour quelles valeurs de α a-t-on convergence uniforme sur R+ ?
c) Calculer lim n→+∞x
d x.
![+∞
∑
n=1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41093x.png)
![∑
k≥0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41094x.png)
![-xk---
(2k+1)!](/numeros/RMS127-4/RMS127-41095x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41096x.png)
![∑
n≥p](/numeros/RMS127-4/RMS127-41097x.png)
![(2n-p)
n](/numeros/RMS127-4/RMS127-41098x.png)
![(x)
4](/numeros/RMS127-4/RMS127-41099x.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41100x.png)
![+∑∞
n=2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41101x.png)
![nx2n-1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41102x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41103x.png)
![+∞
∑
n=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41104x.png)
![-n-
n+1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41105x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![(R*)](/numeros/RMS127-4/RMS127-41106x.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41107x.png)
![----1-----
(1-ax)(1-bx)](/numeros/RMS127-4/RMS127-41108x.png)
b) Soit (an ) une suite telle que la série de terme général an converge. Que dire du rayon de convergence de la série entière de terme général anzn ?
c) Calculer le rayon de convergence de la série entière (-1)n ln
zn.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41111x.png)
![+∞
∑
n=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41112x.png)
a) Déterminer le rayon de convergence de S.
b) Montrer, pour |x| < 1 : S(x) = 9(n + 1)(n + 2)xn - 21
(n + 1)xn + 4
xn.
c) En déduire les solutions de S(x) = 0.
![-2-
n+1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41116x.png)
a) Montrer que 1 ≤ an ≤ n2 pour tout n N*.
b) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière anxn.
c) Soit f : x ] - R,R[
anxn.
i) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1 - x)yʹ- (1 + 2x)y = 0.
ii) Donner une expression de f à l’aide de fonctions usuelles.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∫ 1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41120x.png)
![(ln(1 + x))](/numeros/RMS127-4/RMS127-41121x.png)
a) Justifier la définition de In. Montrer que, pour n N, 0 ≤ In ≤ (ln2)n.
b) Montrer que, pour n N, In+1 = 2(ln2)n+1 - (n + 1)In.
c) Montrer que la série de terme général n converge. Calculer
.
d) Déterminer le rayon de convergence et la somme de xxn.
e) Montrer que In.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![2n+1-
2n+4](/numeros/RMS127-4/RMS127-41130x.png)
a) Montrer que (un) est décroissante et que (un) converge.
b) Soit vn = .
i) Montrer que -
= -
+ o
.
ii) Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on a ≤
. En déduire
qu’il existe un K
R
tel que, pour tout n
N, un ≤ Kvn.
iii) Montrer que la série de terme général un converge.
c) En remarquant que 2(k + 1)uk+1 + 2uk+1 = 2kuk + uk, déterminer la valeur de la somme de la série des uk .
d) Soit f : x
unxn.
i) Montrer que le rayon de convergence R de cette série entière est > 0.
ii) Montrer que f vérifie l’équation (E): 2x(x - 1)fʹ(x) + (x - 2)f(x) = -2.
iii) Résoudre l’équation différentielle (E) pour x ] - R,R[.
Ind. On a : ∀x
\{0,1},
=
-
.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41144x.png)
![∫ π⁄2
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41145x.png)
![---dt---
1-xcos2(t)](/numeros/RMS127-4/RMS127-41146x.png)
a) Montrer que F est définie sur ] - 1,1[.
b) Pour N N* et (x,t)
] - 1,1[×[0,π⁄2], montrer :
=
(xcos2(t))n +
.
c) Montrer que ∀x ] - 1,1[, F(x) =
Wnxn, où Wn est une intégrale à déterminer.
d) Montrer que, pour x ] - 1,1[, F(x) =
.
e) En déduire la valeur de Wn.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∫ 1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41152x.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41153x.png)
![-sin(nt)2
1+nt+t](/numeros/RMS127-4/RMS127-41154x.png)
a) La fonction fn est-elle intégrable sur + ?
b) Calculer lim n→+∞fn(t)d t.
![+∑∞
n=1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41156x.png)
![n-1
(-1n)2--](/numeros/RMS127-4/RMS127-41157x.png)
![π122](/numeros/RMS127-4/RMS127-41158x.png)
![∫ 1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41159x.png)
a) Donner le développement en série entière de tln(1 + t) au voisinage de zéro.
b) Montrer que un = .
c) Montrer que f : x est de classe
1.
d) Exprimer un en fonction de f et en déduire que un.
e) Montrer que l’on a, lorsque n → +∞ : un = +
+ o
où α s’écrit comme la somme
d’une série.
f) Chercher a, b, c,d tels que = a +
+
+
+ o
.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41177x.png)
![∫ π⁄2
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41178x.png)
![(xtanθ)](/numeros/RMS127-4/RMS127-41179x.png)
a) Montrer que, pour x R+*, Arctan(x) + Arctan(1⁄x) = π⁄2.
b) Montrer que f est définie sur R et de classe 1. Déterminer son sens de variations.
c) Montrer que, pour x R+*, f(x) + f(1⁄x) = π2⁄4. En déduire la limite de f en
+ ∞.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41180x.png)
![∫ 1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41181x.png)
![ln(t)
t+x](/numeros/RMS127-4/RMS127-41182x.png)
a) Montrer que f est définie sur R+*.
b) Soit t ]0, 1[. Exprimer
comme somme d’une série.
c) On rappelle que = -
. Calculer f(1).
d) Montrer que, pour x R+*, f(x) = ln(x) × ln
+
d u.
e) Donner une expression de fʹ(x) ne faisant pas intervenir d’intégrale.
f) Soit g : x R +*
f(x) + f(1⁄x). Montrer que g est de classe
1. Montrer que gʹ(x) = -
pour x
R +* .
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41192x.png)
![∫ +∞
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41193x.png)
a) Montrer que f est définie sur , puis que f est de classe
1.
b) Montrer que f vérifie une équation différentielle. Résoudre cette équation différentielle et en déduire une expression de f.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41194x.png)
![∫ +∞
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41195x.png)
![e1-+xtt](/numeros/RMS127-4/RMS127-41196x.png)
b) Montrer que F est positive et décroissante.
c) Montrer que F est de classe 1 sur R+*. Calculer F -Fʹ ;endéduirequeF est de classe
∞
sur R +* .
d) Montrer : ∀x R+*, F(x) = ex
d t. Calculer la limite de F(x) quand x tend vers
0+ .
e) Donner un équivalent de F(x) quand x tend vers 0+.
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
a) Si f est 2-convexe, montrer que exp(f) l’est aussi.
b) Soit Γ : x
tx-1e-t d t.
i) Montrer que Γ est définie sur ]0,+∞[ et que H est strictement positive.
ii) Montrer que H est de classe 2 et 2-convexe.
iii) On admet que, pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). Montrer qu’il existe c ]1,2[ tel que
Γʹ(c) = 0. tudier les variations de Γ et ses limites en 0 et + ∞.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41201x.png)
![∫ +∞
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41202x.png)
![e-xt
√1+t](/numeros/RMS127-4/RMS127-41203x.png)
b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle que l’on précisera.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∫
+∞
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41204x.png)
![sin(xt)-
t](/numeros/RMS127-4/RMS127-41205x.png)
a) Si x R , montrer que
cos(xt)e-t d t existe.
b) Montrer que cos(xt)e-t d t =
avec K indépendant de x.
c) Montrer que ≤ 1 pour u
R* et en déduire l’existence de f.
d) Montrer que f est de classe 1. Déterminer fʹ puis f.
e) Soit L : x R +
e-ux d u. Montrer l’existence de L. En supposant que L est
continue en 0, calculer L(0).
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41213x.png)
![+∑∞
n=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41214x.png)
![exp(-nt2)
--n2+1--](/numeros/RMS127-4/RMS127-41215x.png)
a) Montrer que f est définie et continue sur .
b) Montrer que pour tout t dans +*, 0 ≤ f(t) - 1 ≤
exp(-nt2), et en déduire que
lim+∞f = 1.
c) Montrer que f est de classe 1 sur
. tudier les variations de f.
d) Montrer que ≤
.
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41219x.png)
![+∑∞
n=0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41220x.png)
a) Déterminer le domaine de définition de f. Montrer que la série de fonctions ne converge pas
normalement sur +*.
b) Montrer que f est continue sur +*.
c) Montrer que f - 1 est intégrable sur +*. Exprimer
(f - 1) en fonction de
.
d) On admet que, pour x > 0, on a : exp(-xt2)d t ≤ f(x) ≤ 1 +
exp(-xt2)d t.
Déterminer un équivalent de f en 0+.
e) Démontrer l’encadrement admis à la question précédente.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41226x.png)
![+∑∞
n=2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41227x.png)
![( )
-1- - -1-
n+x n-x](/numeros/RMS127-4/RMS127-41228x.png)
![∫
1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41229x.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41230x.png)
![∫ 1
0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41231x.png)
![1-t--
1+xt3](/numeros/RMS127-4/RMS127-41232x.png)
a) Montrer que f est définie et continue sur D.
b) Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer ce développement.
![e2x
1+x2](/numeros/RMS127-4/RMS127-41233x.png)
a) Donner les solutions de l’équation homogène.
b) Donner les solutions de (E).
a) Donner une condition sur α pour que y: xexp(αx) soit solution de (E).
On choisit désormais un tel α.
b) Donner une condition sur z pour que y: xz(x)exp(αx) soit solution de (E).
c) En déduire les solutions de (E).
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
a) Trouver α tel que la fonction hα: x
+*
xα soit solution de (E).
b) Soit G: x
+*
d t. Donner le tableau de variations de G. Quelle est sa limite en
zéro ?
c) Soit f : R +* → R deux fois dérivable. Montrer que s: x
+*
xf(x) est solution de (E) si
et seulement si fʹ est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 notée (Eʹ) que l’on
déterminera. Résoudre (Eʹ) sur
+*.
d) Décrire l’ensemble des solutions de (E) à l’aide de G. Déterminer le comportement des solutions lorsque x → 0+.
![R](/numeros/RMS127-4/msbm10-52.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
![C](/numeros/RMS127-4/cmsy10-43.png)
![↦→](/numeros/RMS127-4/RMS127-41241x.png)
![{ }
f ∈ C1(R+ *× R,R);∀(x,y)∈R+ *× R, x∂∂fx(x,y)+ y∂∂fy(x,y)= 0](/numeros/RMS127-4/RMS127-41242x.png)
a) Soit g
1 (
,
). On pose ∀(x,y)
+*×
, f(x,y) = g(y⁄x). Montrer que
f
E.
b) Soient f E et v
. On pose ∀t
+*, ϕ(t) = f(t,vt). Montrer que ϕ est de classe
1 et
que ϕʹ est la fonction nulle.
c) Soit f une fonction de +*×
dans
. Déduire des questions précédentes l’équivalence
suivante : f
E⇐⇒∃g
1(
),∀(x,y)
+*×
, f(x,y) = g(y⁄x).
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∑n
k=1](/numeros/RMS127-4/RMS127-41243x.png)
a) Montrer que, pour tout n N, il existe un unique p
N tel que S(p) ≤ n < S(p + 1).
b) Soient A et B deux ensembles dénombrables, (xi)iN et (yj)j
N deux énumérations de A et B
respectivement. Montrer que l’application ψ: (xi,yj)
+ i est une bijection de
A × B sur N.
c) Que peut-on en conclure ?
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![A](/numeros/RMS127-4/cmsy10-41.png)
![1
2n](/numeros/RMS127-4/RMS127-41246x.png)
a) Exprimer P(Ai) pour tout i.
b) On considère un évènement B tel que, pour tout i {1,…,n}, P(B|Ai) =
. Exprimer
P(B).
![B](/numeros/RMS127-4/cmsy10-42.png)
![B](/numeros/RMS127-4/cmsy10-42.png)
a) Donner la fonction génératrice de X.
b) Donner la fonction génératrice de X + Y , puis sa loi.
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy7-32.png)
![∈](/numeros/RMS127-4/cmsy10-32.png)
On pose N = inf {n N*, Xn = 1} si cet ensemble est non vide, N = +∞ sinon.
a) Calculer P(N = +∞).
b) Donner la loi de N.
[Épreuves orales des concours]