[Épreuves orales des concours]

Algèbre

1371. CCP. Soit ω = exp(2iπ⁄7). On pose S = ω + ω2 + ω4 et T = ω3 + ω5 + ω6.

Calculer S + T et ST . En déduire S et T .

1372. Soit n ∈ N *. Calculer n∑ k=0e2ik. En déduire la valeur de n∑ k=0 cos(2k).

1373. CCP. Soient, pour n ≥ 1, Pn(X) = ∑n i=0Xi i! et Qn(X) = P2 n(X) -Pn(2X). Montrer que 0 est racine de Qn de multiplicité (n + 1).

1374. CCP. a) Soit P = X2 + 2X + 3. Montrer : ∀∈ C; P(z) = 0=⇒1 ≤|z|≤ 2.

b) Soit P = a0 + a1X + ⋅⋅⋅ + anXn ∈ R[X] avec a0 ≥ a1 ≥⋅⋅⋅≥ an > 0. On pose Q = (1 - X)P. Soit z ∈ C tel que Q(z) = 0. Montrer que a0 = ∑n k=1(ak-1 -ak)zk + anzn+1. En déduire que si P(z) = 0 alors |z|≥ 1.

c) Soit P = a0 + a1X + ⋅⋅⋅ + anXn ∈ R[X] où les ai sont dans R+*. On pose r = min {a⁄a ,0 ≤ k ≤ n- 1} kk+1. Montrer que les racines de P sont de module ≥ r.

Ind. Considérer ˜P = P(rX).

1375. Soit A ∈ M3(R) telle que A2 = 0 et A≠0. Montrer que A est semblable à ( 0 0 1 ) ( 0 0 0 ) 0 0 0 .

1376. IMT. Soient E = C3, P le sous-espace d’équation x + y + z = 0, D le sous-espace d’équation x = y⁄2 = z⁄3.

a) Les sous-espaces P et D sont-ils supplémentaires dans E ?

b) Déterminer la matrice dans la base canonique du projecteur sur P parallèlement à D.

1377. Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 2. Soient f ∈L(E) de rang 1 et a ∈ E tels que Kerf ⊕ Vect (a) = E.

a) Montrer que Imf = Vect(f (a)).

b) Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que f2 = λf. Déterminer les valeurs propres de f en fonction de λ.

c) Soit H un sous-espace de E tel que E = H ⊕ Vect(a). Soit u ∈L(E) tel que : ∀x ∈ H, u(x) = x.

i) Montrer qu’il existe μ ∈ R tel que u(a) - μa ∈ H. En déduire que Im(u- μid) ⊂ H.

ii) Montrer que u2 - (μ + 1)u + μid = 0. Si μ = 1, l’endomorphisme u est-il diagonalisable ?

1378. IMT. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels que f • g • f = f et g • f • g = g.

a) Montrer que Im(f) et Ker(g) sont supplémentaires dans E.

b) Justifier que f(Im(g)) = Im(f).

1379. Soient E un R espace vectoriel de dimension 4, k ∈ R* et u ∈L(E) tel que u2 = -k2 id.

a) Montrer que u ne possède pas de valeur propre réelle.

b) Soit a ∈ E \ {0}. Montrer que (a,u(a)) est libre.

c) Soient a, b dans E avec b ⁄∈ Vect(a,u(a)). Montrer que (a,u(a),b,u(b)) est une base de E. Quelle est la matrice de u dans cette base ?

1380. TPE. Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur K = R ou C.

a) On suppose que u et v commutent. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont stables par v.

a) Montrer que u laisse stable toutes les droites de E si et seulement si u est une homothétie.

1381. TPE. Soient N =(a b) c d ∈ M2 (C) et M ∈Mn(C).

a) Montrer que P =( | ) -aM--|bM-- cM dM s’écrit comme le produit de deux matrices, la seconde étant diagonale par blocs.

b) En déduire det(P).

1382. CCP. Soit D la matrice diagonale Diag(d1,d2,…,dn), les dk étant deux à deux distincts. Soit μ: M ∈ Mn (R)↦→MD - DM.

a) Montrer que μ est un endomorphisme de Mn(R).

b) Trouver Ker μ.

1383. CCP. On considère la matrice A = ( ) i 0 0 ( 0 0 1) 0 - 1 0 .

a) i) Calculer M2. La matrice M est-elle inversible ?

ii) Exprimer, pour n ∈ N*, Mn en fonction de M et M2.

b) Soit M ∈ M3 (R) telle que M3 + M = 0 et f l’endomorphisme canoniquement associé à M. On suppose que f est injectif.

i) Montrer que M est inversible et que M2 = -I3.

ii) Calculer det(M2) et montrer qu’on aboutit à une absurdité.

1384. CCP. Soient E un R-espace vectoriel, f ∈L(E) et C(f) = {g ∈L(E),f • g = g • f}.

a) Montrer que C(f) est un R-espace vectoriel

b) Soit (e1 , e2 ) la base canonique de R2. Soit x = x1e1 + x2e2 ∈ R2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (e1 - x,e2 - x) soit une base de R2.

c) Généralisation. Soit (e1,…,en) la base canonique de Rn et soit x = x1e1 + ⋅⋅⋅ + xnen dans Rn .

i) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (e1 - x,…,en - x) soit une base de Rn .

ii) Soit f l’endomorphisme de Rn tel que pour tout entier i ∈ [[1,n]], f(ei) = ei - x. Trouver les valeurs propres de f avec leurs multiplicités.

iii) Sous quelles conditions l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

iv) Déterminer la dimension du commutant de f.

1385. CCP. Déterminer les éléments propres de A =( ) 0 1 ⋅⋅⋅ 1 |||1. 0. ⋅⋅⋅ 0.||| ( .. .. ..) 1 0 ⋅⋅⋅ 0.

1386. ENSEA. Étudier la diagonalisabilité de ( ) 1 1 1 1 ||2 2 2 2|| (3 3 3 3) 4 4 4 4.

1387. IMT. Pour (a,b,c,d) ∈ R4, soit A(a,b,c,d) =( ) |0 0 0 d| |(10 01 00 cb|) 0 0 1 a .

a) Déterminer le polynôme caractéristique de A(a,b,c,d).

b) Soit x ∈ R. La matrice A(x,-x2,x3,0) est-elle diagonalisable sur R ? sur C ?

1388. CCP. On pose A =( ) (20 11 --42) 1 1 -3 , B =(11-2) (22-4) 11-2 .

a) Calculer A2 , A3. En déduire une expression de An pour tout n ∈ N.

b) Calculer les valeurs propres de A. Est-elle diagonalisable ?

c) Montrer que les vecteurs propres de A sont aussi des vecteurs propres de B. La matrice B est-elle diagonalisable ?

d) Soient (x, y) ∈ R2 et M(x,y) = xA + yB. Montrer que M(x,y) est diagonalisable et donner l’expression de (M(x,y))n pour tout n ∈ N.

1389. IMT. Soient a : x ∈ R↦→xsin(x), b : x ∈ R↦→xcos(x) et E = V ect(sin,cos,a,b). Pour toute fonction f ∈ E, on pose D(f) = fʹ.

a) Montrer que D appartient à L(E).

b) Quelle est la matrice de D dans la base (sin,cos,a,b) ?

c) Déterminer les valeurs propres de D et calculer D-1.

1390. IMT. Soient P = (X - 1)2 et A =(1 0 0) (0 - 2 9) 0 - 1 4 .

a) Déterminer les valeurs propres (complexes) de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?

b) Calculer P(A). En déduire A-1.

c) Montrer que A est semblable à T =( ) (1 0 0) 0 1 1 0 0 1 .

1391. IMT. Montrer que A =( ) ( 3 - 3 -3) -52 -25 2-5 et B =(001) (000) 000 sont semblables.

1392. CCP. Soient A = (2 1) 1 2 et B = ( | | ) -A-|A-|A--- ( -A-|A-|A--) A A A. La matrice B est-elle diagonalisable ? Trouver son rang, ses valeurs propres ; préciser les multiplicités des valeurs propres.

1393. IMT. Soient A ∈Mn(R), P =( | ) -In-|-In- In In et B =(3A2A ) 2A3A-.

a) Montrer que P est inversible et trouver son inverse.

b) Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A l’est.

1394. TPE. Soient (a,b) ∈ R2 et M =( | ) -aIn-|In- 0 bIn. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que M soit diagonalisable.

1395. CCP. Soit f : M ∈Mn(R)↦→M + tM.

a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(R).

b) Est-il diagonalisable ?

1396. IMT. On considère l’endomorphisme Φ de Mn(R) d’expression Φ(M) = M - tr(M)In.

a) Déterminer les éléments propres de Φ. L’endomorphisme Φ est-il diagonalisable ?

b) Déterminer sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.

1397. CCP. Soient E = Rn[X] et f : P ∈ E↦→X2-1- 2Pʹʹ- XPʹ + P .

a) Montrer que f est un endomorphisme de E.

b) On suppose que n = 3.

i) Donner la matrice de f dans la base canonique de E.

ii) Montrer que f est un projecteur ; déterminer Ker(f) et Im(f).

c) On suppose maintenant que n ≥ 4.

i) Montrer que dim(Ker(f)) ≤ 2, et en déduire que Ker(f) = V ect(X,1 + X2).

ii) Montrer que (f(1),f(X3),f(X4),…,f(Xn)) est une base de Im(f).

iv) Montrer que si Q ∈ Imf alors Qʹ(1) = Qʹ(-1) = 0.

En déduire que Im(f) = {Q ∈ E, Qʹ(1) = Qʹ(-1) = 0}.

v) Calculer les valeurs propres de f. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

1398. IMT. Soit f : P ∈ Rn[X]↦→Pʹʹ- 2XPʹ.

a) Justifier que f est un endomorphisme de Rn[X].

b) Soit k ∈ {0, … ,n}. Montrer qu’il existe un unique polynôme Pk unitaire de degré k tel que f(Pk ) = -2kPk .

1399. IMT. Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n.

a) On suppose A inversible. Montrer que χAB = χBA.

b) On suppose A non inversible. Montrer que A-1 pIn est inversible pour p ∈ N* assez grand. En déduire que χAB = χBA.

1400. TPE. On munit R3 de sa structure euclidienne canonique.

a) Soit H le sous-espace vectoriel de R3 d’équation x - y + z = 0. Déterminer le projeté orthogonal de X ∈ R3 sur l’orthogonal de H.

b) En déduire le projeté orthogonal de X sur H, puis la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur H.

c) Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à H.

1401. IMT. Soit ⟨,⟩ l’application définie sur R[X] × R[X] par ⟨P,Q ⟩ = ∫ 1 -1P(t)Q-(t) √1-t2 d t.

a) Montrer l’existence de ⟨P,Q⟩ pour tous P,Q ∈ R[X]. Montrer que ⟨,⟩ est un produit scalaire sur R [X].

b) Soit n ∈ N . Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme Tn tel que, pour tout θ ∈ R, Tn (cos θ) = cos (nθ).

c) Montrer que la famille (Tn)n∈N est une famille orthogonale.

d) Soit F = R 1 [X]. Calculer la distance de X2 à F .

1402. TPE. On munit R2 de sa structure euclidienne canonique orientée. Soient ε = (ε1,ε2) la base canonique de R 2 , θ ∈]0,π[ et v = (v1,v2) avec v1 = ε1 et v2 = (cosθ)ε1 + (sinθ)ε2. Soit φ ∈ L(R 2 ) dont la matrice dans v est M =( ) 0 -1 1 2cosθ .

a) Calculer ∥v1 ∥2, ∥v2∥2 et ⟨v1,v2⟩.

b) Soit y = y1 v1 + y2v2 dans R2. Calculer ∥y∥2 et ∥φ(y)∥2. Montrer que φ appartient à O(R2 ).

c) Soit P la matrice de passage de ε à v. Calculer P-1.

d) Exprimer la matrice Mʹ de φ dans la base canonique.

1403. CCP. Soient (E,⟨,⟩) un espace euclidien et f ∈L(E) tel que ∀x ∈ E, ⟨f(x),x⟩ = 0.

a) Montrer que ∀(x,y) ∈ E2, ⟨f(y),x⟩ = -⟨f(x),y⟩.

b) Comparer Ker(f) et l’orthogonal de Im(f).

1404. TPE. Soient (E,⟨,⟩) un espace euclidien, r et p deux projecteurs orthogonaux de E. Soit λ une valeur propre non nulle de p • r associée au vecteur propre u.

a) Montrer que u est dans Imp et que r(u) - λu est dans (Imp)⊥.

b) Montrer que λ∥u∥2 = ∥r(u)∥2.

c) Montrer que λ est dans [0,1].

1405. Soit A = 1 3( ) ( aa+ 1 a+-21 2a ) -2 -a a+ 1 . Préciser les valeurs de a pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

1406. CCP. Soient (a,b,c) ∈ (R+*)3 et M = ( ) 0 - a c ( a 0 - b) - c b 0 .

a) Montrer que M + I3 est inversible.

b) Soit K = (M - I3)(M + I3)-1. Montrer que K est une matrice orthogonale.

1407. CCP. On considère une matrice A antisymétrique appartenant à Mn(R), et on considère les matrices M = In + A et N = In - A. Soit X appartenant à Mn,1(R).

a) Calculer t (t XAX) et en déduire que tXAX = 0.

b) Montrer que si A possède une valeur propre réelle alors celle-ci est égale à 0. En déduire que N et M sont inversibles.

c) Montrer que M et N commutent, que M et N-1 commutent. On pose W = MN-1. Montrer que W est une matrice orthogonale et que - 1 n’est pas valeur propre de W .

d) Soit U ∈ On (R) dont - 1 n’est pas valeur propre. Montrer qu’il existe une unique matrice antisymétrique A ∈An(R) telle que U = (In - A)(In + A)-1.

1408. a) Soient p ∈ N* et M ∈Mn(R) telle que t (M + M )p = 0. Montrer que M est antisymétrique.

b) Trouver M ∈ M2(C) telle que t (M + M )2 = 0 et (M + tM)≠0.

1409. CCP. Soient (E,⟨,⟩) un espace euclidien et g un automorphisme orthogonal de E. On pose f = g - id E . Soit y ∈ Im(f). Montrer que y est dans l’orthogonal de Ker(f). En déduire que (Im (f))⊥ = Ker(f).

Analyse

1410. Si A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(C), on pose ∥A∥ = max{ ∑n } j=1 |ai,j|,i ∈ {1,...,n} et ρ(A) = max {|λ|,λ ∈ Sp(A )}.

a) Soit Aθ =( ) 1 1 +iθi 0 e . Calculer ∥Aθ ∥ et ρ(Aθ).

b) Soient A ∈ Mn(C), λ ∈ C une valeur propre de A et X = t(x1,…,xn) un vecteur propre associé. Montrer que |λ||xi|≤∑n j=1|ai,j||xj| pour tout i. En déduire que ρ(A) ≤∥A∥.

c) Soient A ∈ Mn(C) et k ∈ N*. Montrer que ρ(Ak) = ρ(A)k.

d) Soient A et B dans Mn(C). Montrer que ∥AB∥≤∥A∥×∥B∥.

e) Soit A ∈ Mn (C) diagonalisable. Montrer que Ak → 0 si et seulement si ρ(A) < 1.

1411. TPE. Donner un encadrement puis un équivalent de un = n ∑ k=1√1- k.

1412. IMT. Soit, pour n ∈ N*, gn : x↦→∫ x n exp(t2)d t.

a) Montrer que, pour n ∈ N*, il existe un unique xn vérifiant gn(xn) = 1.

b) Trouver un équivalent de xn.

1413. (CCP) Si (un)n≥1 est une suite réelle, on dit que (un) vérifie (*) si et seulement si : ∀(n, m) ∈ (N * )2 , un+m ≤ un + um.

a) Soient α ∈ R et, pour n ∈ N*, vn = nα. Montrer que (vn) vérifie (*) si et seulement si α ≤ 1. Déterminer dans ce cas la limite de la suite de terme général vn⁄n.

b) Soit (wn ) une suite réelle telle que : ∀(n,m) ∈ (N*)2, wn+m = wn + wm. Montrer qu’une telle suite est arithmétique. Déterminer la limite de la suite de terme général wn ⁄n.

c) Soit (un ) une suite vérifiant (*). On suppose que la suite de terme général un⁄n est minorée et on pose : α = inf { u *} nn-,n ∈ N. Montrer que (u n⁄n) a pour limite α.

Ind. On pourra fixer ϵ > 0 et considérer q ∈ N* tel que α ≤ uq⁄q ≤ α + ϵ.

1414. CCP. Soit E l’ensemble des suites numériques réelles (xn)n∈N telles que ∑ n∈Nx2n converge.

a) Pour (a, b) ∈ R2, montrer que 2|ab|≤ a2 + b2.

b) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites numériques réelles.

c) Montrer que f : (xn) ∈ RN↦→x0 ∈ R est une application linéaire.

d) Soit ϕ: ((xn ),(yn)) ∈ E2↦→+∞ ∑ n=0xnyn ∈ R. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E. En déduire que •∑+∞--2- n=0xn est l’expression d’une norme sur E.

On munit E de cette norme notée N.

e) Montrer que, pour (xn) dans E, la suite (xn + xn+1) est aussi dans E.

f) Soit g: (xn ) ∈ E↦→(xn + xn+1) ∈ E. Montrer que g est lipschitzienne pour la norme N.

1415. IMT. Soit φ une bijection de N* dans N*.

a) On pose Tn = n ∑ k=1φ(k). Montrer que n ∑ k=1φ(k2) k = n-1 ∑ k=1Tk(12 k ---1-2 (k+1)) + Tn2 n.

b) Conclure quant à la convergence de ∑φ(n)- n2.

1416. IMT. Soient (an) et (bn) dans RN. On suppose que an ~ bn et que (an) est de signe fixe à partir d’un certain rang.

a) Montrer que (bn) est de signe fixe à partir d’un certain rang.

b) Montrer que les séries de termes généraux an et bn sont de même nature.

1417. TPE. Soient (un) et (vn) dans (R+*)N. On suppose qu’il existe un rang n0 tel que : ∀n ≥ n0 , un+1 un ≤vn+1 vn.

a) Montrer que un = O(vn).

b) Soit (α, β) ∈ (R+)2, α ⁄= β. Soit wn = -1 nα. On suppose que un+1 un = 1 -β n + o(1) n.

i) Trouver un équivalent de un+1 -un- -wn+1 wn--.

ii) Montrer que la série de terme général un converge lorsque β > 1, et diverge lorsque β < 1.

1418. CCP. a) Déterminer les racines de X3 - 4X2 + X.

b) Pour tout n ∈ N, on pose un = sin(π(2 + √ - 3)n). Montrer que, pour tout n ∈ N, (2 + √ 3)n + (2 -√- 3)n est un entier pair. Montrer que un = -sin(π(2 -√- 3)n) et en déduire que la série de terme général un converge.

c) Soit P = X3 + a1X2 + a2X + a3 ∈ C[X]. On note x1,x2,x3 les racines complexes de P (éventuellement répétées avec leur ordre de multiplicité). On suppose que |x1| > 1, |x2| < 1 et |x3 | < 1. On pose σ1 = x1 + x2 + x3, σ2 = x1x2 + x2x3 + x3x1, σ3 = x1x2x3 et, pour n ∈ N, Sn = xn 1 + xn 2 + xn 3.

i) Exprimer a1 ,a2,a3 à l’aide de σ1,σ2,σ3.

ii) Calculer σ1 σ2 - 3σ3.

iii) Exprimer S1,S2,S3 en fonction de σ1,σ2,σ3.

iv) Montrer que, pour p ∈ N, Sp+3 - σ1Sp+2 + σ2Sp+1 - σ1Sp = 0.

1419. TPE. Soient k ∈]1,+∞[ et (un)n≥1 une suite réelle définie par u1 > 0 et, pour n ∈ N*, un+1 = (1-1) knun.

a) tudier la monotonie de (un).

b) La suite (un ) est-elle convergente ?

c) tudier la convergence de ∑(vn+1 - vn) avec vn = ln(n-1⁄kun).

d) tudier la convergence de (vn).

e) En déduire un équivalent simple de (un).

f) tudier la convergence des séries de termes généraux un, un n et (-1)nu n.

g) Montrer que la suite de terme général wn = ∫ +∞ 0--dt3n- (1+t) vérifie les conditions de l’introduction.

1420. Soit ϕ : t ∈]0,1]↦→1--t3- t.

a) Montrer que ϕ réalise une bijection de ]0,1] sur [0,+∞[. On note u la réciproque de ϕ.

b) Montrer que u est dérivable.

c) Montrer que, pour x ∈ R+*, u(x)3 + xu(x) - 1 = 0. En déduire que : |uʹ(x)|≤-1-- 3u(x).

1421. IMT. Soit g : x ∈ R*↦→x cos(x)-sin(x) -----x3----. La fonction g est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Ce prolongement est-il de classe C1 ? de classe C∞ ?

1422. IMT. Trouver toutes les f ∈C0(R, R) telles que : ∀x ∈ R, xf(x) = 2∫ x 0f(t)d t.

1423. IMT. Trouver une primitive de x↦→---cos(3x)-- sin(x)+sin(2x).

1424. CCP. Existence et calcul de ∫ +∞ 1arcta2n(x) x d x.

1425. TPE. Soient α ∈ R, n ∈ N* et fn : x ∈ R↦→x(1 + nα e-nx).

a) Étudier la convergence de la suite (fn). Préciser la limite.

b) Pour quelles valeurs de α a-t-on convergence uniforme sur R+ ?

c) Calculer lim n→+∞∫ 1 0x √-- (1 + n e-nx)d x.

1426. Rayon et somme de +∞ ∑ n=1n2xn.

1427. IMT. Rayon de convergence et somme de la série entière ∑ k≥0(-1)k-xk--- (2k+1)! ?

1428. IMT. Soient p ∈ N et Hp : x↦→∑ n≥p(2n-p) n(x) 4n. Déterminer le rayon de convergence de Hp. Calculer H0 (x).

1429. CCP. Soit f : x↦→+∑∞ n=2nx2n-1. Déterminer le domaine de définition de f et donner une expression simple de f(x) pour x ∈] - 1,1[.

1430. CCP. Rayon de convergence et somme de la série entière x↦→ +∞ ∑ n=0-n- n+1xn ?

1431. IMT. Soient (a,b) ∈(R*)2 et f : x↦→----1----- (1-ax)(1-bx). Déterminer le développement en série entière de f au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence.

1432. IMT. a) Rappeler la définition du rayon de convergence d’une série entière complexe.

b) Soit (an ) une suite telle que la série de terme général an converge. Que dire du rayon de convergence de la série entière de terme général anzn ?

c) Calculer le rayon de convergence de la série entière ∑ n≥1(-1)n ln(1 + 1) nzn.

1433. TPE. On pose S : x↦→ +∞ ∑ n=0(3n + 1)2xn.

a) Déterminer le rayon de convergence de S.

b) Montrer, pour |x| < 1 : S(x) = 9+∑∞ n=0(n + 1)(n + 2)xn - 21+∑∞ n=0(n + 1)xn + 4+∑ ∞ n=0xn.

c) En déduire les solutions de S(x) = 0.

1434. TPE. Soit (an)n≥0 définie par a0 = a1 = 1 et, pour n ≥ 1, an+1 = an + -2- n+1an-1⋅

a) Montrer que 1 ≤ an ≤ n2 pour tout n ∈ N*.

b) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑anxn.

c) Soit f : x ∈] - R,R[↦→+∞ ∑ n=0anxn.

i) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1 - x)yʹ- (1 + 2x)y = 0.

ii) Donner une expression de f à l’aide de fonctions usuelles.

1435. CCP. Pour n ∈ N, on pose In = ∫ 1 0(ln(1 + x))n d x.

a) Justifier la définition de In. Montrer que, pour n ∈ N, 0 ≤ In ≤ (ln2)n.

b) Montrer que, pour n ∈ N, In+1 = 2(ln2)n+1 - (n + 1)In.

c) Montrer que la série de terme général ( ) Inn!n converge. Calculer +∑∞ n=0Inn!.

d) Déterminer le rayon de convergence et la somme de x↦→+∞ ∑ n=0In n!xn.

e) Montrer que In~n→+ ∞2(ln2)n+1 n.

1436. CCP. On définit la suite (un) par u0 = 1 et, pour n ∈ N, un+1 = 2n+1- 2n+4un.

a) Montrer que (un) est décroissante et que (un) converge.

b) Soit vn = 1 n5⁄4.

i) Montrer que un+1- un -vn+1 vn = -1- 4n + o(1 ) n.

ii) Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on a un+1 un ≤vn+1 vn. En déduire qu’il existe un K ∈ R* + tel que, pour tout n ∈ N, un ≤ Kvn.

iii) Montrer que la série de terme général un converge.

c) En remarquant que 2(k + 1)uk+1 + 2uk+1 = 2kuk + uk, déterminer la valeur de la somme de la série des uk .

d) Soit f : x↦→ +∞ ∑ n=0unxn.

i) Montrer que le rayon de convergence R de cette série entière est > 0.

ii) Montrer que f vérifie l’équation (E): 2x(x - 1)fʹ(x) + (x - 2)f(x) = -2.

iii) Résoudre l’équation différentielle (E) pour x ∈] - R,R[.

Ind. On a : ∀x ∈ R \{0,1}, x-2 2x(x--1) = 1 x - 1 2(x-1).

1437. TPE. Soit F : x↦→∫ π⁄2 0---dt--- 1-xcos2(t).

a) Montrer que F est définie sur ] - 1,1[.

b) Pour N ∈ N* et (x,t) ∈] - 1,1[×[0,π⁄2], montrer :

1 1-xcos2(t)= N-1∑ n=0(xcos2(t))n + xNcos2N(t) 1-xcos2(t)-.

c) Montrer que ∀x ∈] - 1,1[, F(x) = +∞ ∑ n=0Wnxn, où Wn est une intégrale à déterminer.

d) Montrer que, pour x ∈] - 1,1[, F(x) = -√π-- 2 1-x.

e) En déduire la valeur de Wn.

1438. IMT. Pour n ∈ N, on pose In = ∫ 1 0xxn d x. Étudier la convergence de la suite (In ).

1439. IMT. Pour n ∈ N*, soit fn : t ∈ R+↦→-sin(nt)2 1+nt+t.

a) La fonction fn est-elle intégrable sur R+ ?

b) Calculer lim n→+∞∫ + ∞ 0fn(t)d t.

1440. CCP. On rappelle que +∑∞ n=1 n-1 (-1n)2-- = π122. Pour n ≥ 1, on pose un = ∫ 1 0 ln(1 + tn)d t.

a) Donner le développement en série entière de t↦→ln(1 + t) au voisinage de zéro.

b) Montrer que un = +∞ ∑ k=1(--1)k-1 k(kn+1).

c) Montrer que f : x↦→+∑∞ k=1 k-1 (k-(1k)+x) est de classe C1.

d) Exprimer un en fonction de f et en déduire que un~n→+ ∞1π22n.

e) Montrer que l’on a, lorsque n → +∞ : un = π2- 12n + α2 n + o(12) n où α s’écrit comme la somme d’une série.

f) Chercher a, b, c,d tels que ∫ 1 0 dt 1+tn = a + b n + c n2 + d n3 + o(1 ) n3.

1441. Soit f : x↦→∫ π⁄2 0Arctan(xtanθ)d θ.

a) Montrer que, pour x ∈ R+*, Arctan(x) + Arctan(1⁄x) = π⁄2.

b) Montrer que f est définie sur R et de classe C1. Déterminer son sens de variations.

c) Montrer que, pour x ∈ R+*, f(x) + f(1⁄x) = π2⁄4. En déduire la limite de f en + ∞.

1442. Soit f : x↦→∫ 1 0ln(t) t+x d t.

a) Montrer que f est définie sur R+*.

b) Soit t ∈]0, 1[. Exprimer ln(t)- 1+t comme somme d’une série.

c) On rappelle que +∑∞ n=1(--1)n- n2 = -π2 12. Calculer f(1).

d) Montrer que, pour x ∈ R+*, f(x) = ln(x) × ln(1 +1⁄x) + ∫ 1⁄x 0ln1+(uu) d u.

e) Donner une expression de fʹ(x) ne faisant pas intervenir d’intégrale.

f) Soit g : x ∈ R +*↦→f(x) + f(1⁄x). Montrer que g est de classe C1. Montrer que gʹ(x) = -ln(x) -x2- pour x ∈ R +* .

1443. IMT. Soit f : x↦→∫ +∞ 0 exp(-t2)cos(xt)d t.

a) Montrer que f est définie sur R, puis que f est de classe C1.

b) Montrer que f vérifie une équation différentielle. Résoudre cette équation différentielle et en déduire une expression de f.

1444. CCP. a) Soit F : x↦→∫ +∞ 0e1-+xtt d t. Montrer que F est définie sur R+*.

b) Montrer que F est positive et décroissante.

c) Montrer que F est de classe C1 sur R+*. Calculer F -Fʹ ;endéduirequeF est de classe C∞ sur R +* .

d) Montrer : ∀x ∈ R+*, F(x) = ex∫ + ∞ x -t et- d t. Calculer la limite de F(x) quand x tend vers 0+ .

e) Donner un équivalent de F(x) quand x tend vers 0+.

1445. CCP. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs réelles. On dit que f est 2-convexe si f est de classe C2 et fʹʹ≥ 0.

a) Si f est 2-convexe, montrer que exp(f) l’est aussi.

b) Soit Γ : x↦→ ∫+∞ 0tx-1e-t d t.

i) Montrer que Γ est définie sur ]0,+∞[ et que H est strictement positive.

ii) Montrer que H est de classe C2 et 2-convexe.

iii) On admet que, pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). Montrer qu’il existe c ∈]1,2[ tel que Γʹ(c) = 0. tudier les variations de Γ et ses limites en 0 et + ∞.

1446. ENSEA. a) Étudier la fonction f : x↦→∫ +∞ 0e-xt √1+t d t.

b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle que l’on précisera.

1447. CCP. Pour x ∈ R, on pose f(x) = ∫ +∞ 0sin(xt)- te-t d t.

a) Si x ∈ R , montrer que ∫ + ∞ 0 cos(xt)e-t d t existe.

b) Montrer que ∫+∞ 0 cos(xt)e-t d t = -K-- 1+x2 avec K indépendant de x.

c) Montrer que | | |sinuu|≤ 1 pour u ∈ R* et en déduire l’existence de f.

d) Montrer que f est de classe C1. Déterminer fʹ puis f.

e) Soit L : x ∈ R +↦→∫ +∞ 0sin(u) ue-ux d u. Montrer l’existence de L. En supposant que L est continue en 0, calculer L(0).

1448. CCP. Soit f : t↦→+∑∞ n=0exp(-nt2) --n2+1--.

a) Montrer que f est définie et continue sur R.

b) Montrer que pour tout t dans R+*, 0 ≤ f(t) - 1 ≤+∑∞ n=1 exp(-nt2), et en déduire que lim+∞f = 1.

c) Montrer que f est de classe C1 sur R. tudier les variations de f.

d) Montrer que | ∑ | ||f(0)- 1n0=0n21+1||≤110-.

1449. CCP. Soit f : x↦→+∑∞ n=0e-xn2 .

a) Déterminer le domaine de définition de f. Montrer que la série de fonctions ne converge pas normalement sur R+*.

b) Montrer que f est continue sur R+*.

c) Montrer que f - 1 est intégrable sur R+*. Exprimer ∫ +∞ 0(f - 1) en fonction de +∞ ∑ n=11 n2.

d) On admet que, pour x > 0, on a : ∫ +∞ 0 exp(-xt2)d t ≤ f(x) ≤ 1 + ∫ +∞ 0 exp(-xt2)d t. Déterminer un équivalent de f en 0+.

e) Démontrer l’encadrement admis à la question précédente.

1450. CCP. Soit F : x ∈ [0,1]↦→+∑∞ n=2( ) -1- - -1- n+x n-x. Montrer que F est définie et continue. Calculer ∫ 1 0F(x)d x.

1451. IMT. Soient f : x↦→∫ 1 01-t-- 1+xt3 d t et D = [-1,+∞[.

a) Montrer que f est définie et continue sur D.

b) Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer ce développement.

1452. CCP. Résoudre yʹʹ- 3yʹ + 2y = x2 + 3x et yʹʹ + yʹ- 2y = 9ex.

1453. CCP. On note (E) l’équation différentielle yʹʹ + 4yʹ + 4y = e2x 1+x2.

a) Donner les solutions de l’équation homogène.

b) Donner les solutions de (E).

1454. CCP. On considère l’équation différentielle (E): (2x + 1)yʹʹ + (4x - 2)yʹ- 8y = 0.

a) Donner une condition sur α pour que y: x↦→exp(αx) soit solution de (E).

On choisit désormais un tel α.

b) Donner une condition sur z pour que y: x↦→z(x)exp(αx) soit solution de (E).

c) En déduire les solutions de (E).

1455. CCP. On considère l’équation différentielle (E): xyʹʹ + xyʹ- y = 0 sur R+*.

a) Trouver α tel que la fonction hα: x ∈ R+*↦→xα soit solution de (E).

b) Soit G: x ∈ R+*↦→∫ x 1e-t t2 d t. Donner le tableau de variations de G. Quelle est sa limite en zéro ?

c) Soit f : R +* → R deux fois dérivable. Montrer que s: x ∈ R+*↦→xf(x) est solution de (E) si et seulement si fʹ est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 notée (Eʹ) que l’on déterminera. Résoudre (Eʹ) sur R+*.

d) Décrire l’ensemble des solutions de (E) à l’aide de G. Déterminer le comportement des solutions lorsque x → 0+.

1456. TPE. Soient I un intervalle de R centré en zéro, ϕ ∈C∞(I, R) une fonction paire et (E) l’équation différentielle yʹʹ(x) + ϕ(x)y(x) = 0. Soit y une solution de (E). Montrer que y est de classe C∞ et que la fonction x↦→y(-x) est également solution de (E).

1457. CCP. Soit E = { } f ∈ C1(R+ *× R,R);∀(x,y)∈R+ *× R, x∂∂fx(x,y)+ y∂∂fy(x,y)= 0.

a) Soit g ∈ C1 (R, R). On pose ∀(x,y) ∈ R+*× R, f(x,y) = g(y⁄x). Montrer que f ∈ E.

b) Soient f ∈ E et v ∈ R. On pose ∀t ∈ R+*, ϕ(t) = f(t,vt). Montrer que ϕ est de classe C1 et que ϕʹ est la fonction nulle.

c) Soit f une fonction de R+*× R dans R. Déduire des questions précédentes l’équivalence suivante : f ∈ E⇐⇒∃g ∈C1(R),∀(x,y) ∈ R+*× R, f(x,y) = g(y⁄x).

Probabilités

1458. CCP. On considère deux urnes. La première contient 4 boules noires et 2 blanches, la deuxième 2 noires et 4 blanches. On choisit une urne au hasard, on tire successivement 3 boules sans remise. Donner la probabilité de tirer une troisième boule noire sachant que l’on a déjà tiré 2 boules noires avant.

1459. TPE. On pose S0 = 0 et, pour n ∈ N*, Sn = ∑n k=1k.

a) Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe un unique p ∈ N tel que S(p) ≤ n < S(p + 1).

b) Soient A et B deux ensembles dénombrables, (xi)i∈N et (yj)j∈N deux énumérations de A et B respectivement. Montrer que l’application ψ: (xi,yj)↦→(i+j)(i2+j+1) + i est une bijection de A × B sur N.

c) Que peut-on en conclure ?

1460. TPE. Soient n ∈ N avec n ≥ 2, (Ω,A,P) un espace probabilisé et (Ai)1≤i≤n un système complet d’évènements tel que (P(Ai))1≤i≤n soit une suite arithmétique avec P(A1 ) = 1 2n.

a) Exprimer P(Ai) pour tout i.

b) On considère un évènement B tel que, pour tout i ∈{1,…,n}, P(B|Ai) = 1 2i. Exprimer P(B).

1461. CCP. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. On pose Z = X + Y . Déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance.

1462. TPE. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois binomiales B(n, p) et B(m,p).

a) Donner la fonction génératrice de X.

b) Donner la fonction génératrice de X + Y , puis sa loi.

1463. IMT. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres λ et μ. Soit n ∈ N. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant (X + Y = n).

1464. TPE. Soit (Xn)n∈N* une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées et suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[.

On pose N = inf {n ∈ N*, Xn = 1} si cet ensemble est non vide, N = +∞ sinon.

a) Calculer P(N = +∞).

b) Donner la loi de N.



[Épreuves orales des concours]

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