[Épreuves orales des concours]

Algèbre

1231. ENSAM. Soit P un polynôme à coefficients réels.

a) On suppose que, pour tout x ∈ R, P(x) + Pʹ(x) ≥ 0. Montrer que P(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R .

b) On suppose maintenant que, pour tout x ∈ R, P(x) -Pʹʹ(x) ≥ 0. Montrer que P(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R .

c) On suppose ici que, pour tout x ∈ R, P(x) - Pʹ(x) - Pʹʹ(x) + Pʹʹʹ(x) ≥ 0. Peut-on dire que P(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R ?

1232. IMT. a) Soient A et B deux matrices de Mn(R). Montrer que, si A ou B est inversible alors A + tB est inversible pour tout réel t, sauf un nombre fini de valeurs de t.

b) Soient A = (a1,…,an) et B = (b1,…,bn) deux familles de vecteurs de Rn. Montrer que, si A ou B est libre alors la famille C = (a1 + tb1,⋅⋅⋅,an + tbn) est libre pour tout réel t, sauf un nombre fini de valeurs de t.

1233. Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On suppose que, pour tout vecteur x de E, x et f(x) sont colinéaires. Montrer que : ∃λ ∈ K, ∀x ∈ E, f(x) = λx.

1234. CCP. On considère la matrice M(a) =(1 - 2a a a ) ( a 1- 2a a ) a a 1- 2a de M3 (R ).

a) Montrer que, pour tous a,b ∈ R, M(a)M(b) = M(a + b - 3ab).

b) quelle(s) condition(s) la matrice M(a) est-elle inversible ?

c) Trouver une suite (un) telle que M(a)n = M(un) pour tout n ∈ N.

1235. On considère l’espace vectoriel R3 muni de la base canonique B. On note P le plan d’équation x + y + z = 0, D la droite d’équations x = y 3- = z 2, et p la projection sur P parallèlement à D.

a) Montrer que P ⊕ D = R3.

b) Soit u un vecteur de R3 de coordonnées (x,y,z) dans B. Calculer p(u) et déterminer la matrice de p dans B.

1236. IMT. Soient E est un espace vectoriel de dimension finie, p et q des projecteurs de E. Montrer : Ker p = Kerq⇐⇒p • q = p et q • p = q.

1237. TPE. Soit A =( ) 0 1 0 ( 1 0 1) 1 1 1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, An est combinaison linéaire de A et A2. Calculer An .

1238. Soit A =(5 1 -1) (2 4 -2) 1 -1 3 .

a) Montrer que A est diagonalisable.

b) Calculer An .

c) Soient u0 = v0 = w0 = 1 et ∀n ∈ N, ( |{ un+1 = 5un + vn - wn vn+1 = 2un + 4vn - 2wn |( wn+1 = un - vn + 3wn.
Pour n ∈ N, calculer un, vn, wn.

1239. CCP. Soit A =( 1 0 2) ( 1 1 1) - 1 0 -2 .

a) Diagonaliser A (donner P ∈ GL3(R) et D diagonale telles que A = PDP-1).

b) Soit (α, β) ∈ R2. La matrice αA + βIn est-elle diagonalisable ?

1240. CCP. Soient n ∈ N*, E un espace vectoriel de dimension n, x0 ∈ E non nul et ϕ une forme linéaire non identiquement nulle sur E. On définit u sur E par u(x) = x + ϕ(x)x0.

a) Montrer que u est un endomorphisme de E.

b) Montrer que 1 est une valeur propre de u et déterminer l’espace propre associé.

c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que u soit diagonalisable. Déterminer son spectre et ses vecteurs propres.

1241. IMT. Soit E = R3[X]. Pour tout P ∈ E, on pose d(P) = Pʹ.

a) Montrer que d est un endomorphisme de E.

b) Trouver le noyau et l’image de d.

c) L’endomorphisme d est-il diagonalisable ?

1242. IMT. Soit l’application u : P ∈ Rn[X]↦→Pʹ- XPʹʹ

a) Monter que u est un endomorphisme de Rn[X].

b) Trouver la seule valeur propre possible λ de u.

c) L’endomorphisme u est-il diagonalisable ? inversible ?

d) Calculer le sous-espace propre de λ.

1243. On définit l’application g par : ∀P ∈ Rn[X], g(P) = n2XP - (X2 + X)Pʹ- X3Pʹʹ.

a) Montrer que g est un endomorphisme de Rn[X].

b) Montrer que g est diagonalisable.

c) L’application g est-elle inversible ?

1244. CCP. Soient E un espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B et f l’endomorphisme dont la matrice dans B est A =( 1 1 -1) ( -1 3 -3) -2 2 -2 .

a) Montrer que E = Ker(f2) ⊕ Ker(f - 2IdE).

b) Donner un élément de Ker(f2) \ Ker(f).

c) Montrer qu’il existe une base Bʹ de E telle que MatBʹ(f) = ( ) 0 1 0 (0 0 0) 0 0 2 .

d) Soit g ∈ L(E) tel que g2 = f. Montrer que Ker(f2) est stable par g. Qu’en déduire ?

1245. Navale. Soit M une matrice de M3(C) telle que M soit semblable à 2M.

a) Quelles sont les valeurs propres de M ? Montrer que M est semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle.

b) On suppose M de rang 1. Montrer qu’elle est semblable à ( 0 0 0) ( 0 0 1) 0 0 0.

1246. IMT. Soient a ∈ R et A =( 1 - 1 a) ( 0 2 0) 0 0 a . Déterminer le rang de A. La matrice A est-elle diagonalisable ? Pour a = 1, calculer An .

1247. IMT. Soient A =( ) ( 1 0 -1) 0 2 0 -1 0 1 et f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.

a) Trouver les valeurs propres de f. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

b) Soit (a, b) ∈ R2. Trouver les valeurs propres de g = af + bid.

c) quelles conditions sur (a,b) l’endomorphisme g est-il bijectif ?

1248. ENSEA. Soient (x,y,z) ∈ C3 \{0} et M =(x2 xy xz) (xy y2 yz) xz yz z2 .

a) Montrer qu’il existe C ∈M3,1(C) tel que M = CCT.

b) Déterminer le rang de M.

c) Montrer que M est semblable à une matrice de la forme N =( a 0 0) ( b 0 0) c 0 0 avec (a, b, c)≠ (0, 0,0). Expliciter a en fonction de x, y et z.

d) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.

1249. Soient (a, b,c) ∈ C3, M =( ) a c b ( c a+ b c ) b c a et K =( ) (010 ) 101 010.

a) Diagonaliser K.

b) Exprimer M à l’aide des puissances de K.

c) Montrer que M est diagonalisable.

1250. ENSEA. Soit A =13( ) |0 3 0 0| |(00 10 22 01|) 0 0 0 3 . La matrice A est elle diagonalisable ? Déterminer la limite de An quand n tend vers l’infini.

1251. IMT. Soient n ≥ 3 et la matrice C de taille n dont la première colonne, la première et la dernière ligne sont constituées de 1 et le reste de 0.

a) Calculer le rang de C, le noyau de C et l’image de C. Qu’en déduit-on sur les valeurs propres ?

b) Calculer C2 . Montrer que si a est valeur propre de C alors a2 est valeur propre de C2 .

c) En déduire les valeurs propres de C.

1252. CCP. Soient n un entier pair supérieur ou égal à 2 et A =( ) 1 n 1 ⋅⋅⋅ n || 2 n- 1 2 ⋅⋅⋅ n- 1|| ||| 3 n- 2 3 ⋅⋅⋅ n- 2||| ( ... ... ... ... ) n 1 n ⋅⋅⋅ 1 . Déterminer le rang de A. Montrer que A est diagonalisable et préciser ses éléments propres.

1253. Soit A ∈ M6(R) inversible et vérifiant A3 - 3A2 + 2A = 0 ainsi que tr(A) = 8.

a) Montrer que A est diagonalisable.

b) Que peut-on dire sur les valeurs propres de A ?

c) Donner une matrice diagonale semblable à A.

d) Déterminer l’ensemble des polynômes annulateurs de A.

1254. CCP. Soit f : M2(R) →M2(R), M = ( ) a b c d↦→( ) d 2b 2c a .

a) Montrer que f est un endomorphisme de M2(R).

b) Déterminer les éléments propres de f.

c) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? est-il inversible ?

1255. CCP. Soit ϕ : M ∈Mn(C)↦→M + tr(M)In.

a) Montrer que ϕ est un endomorphisme de Mn(C).

b) Trouver le noyau et le rang de ϕ.

c) Trouver un polynôme annulateur de ϕ de degré 2.

d) L’endomorphisme ϕ est-il diagonalisable ?

e) L’endomorphisme ϕ est-il inversible ? Si oui, trouver son inverse.

1256. IMT. Soit f : R[X] → R[X], P↦→P - Pʹ.

a) Montrer que l’endomorphisme f est bijectif.

b) Est-il diagonalisable ?

c) Soient g un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel E et p un entier tel que gp = 0. Montrer que id E - g est bijectif et que (idE - g)-1 = idE + g + ⋅⋅⋅ + gp-1.

1257. CCP. Soit P(X) = Xn -n∑-1 i=0αiXi avec α0 > 0 et αi ≥ 0 pour 1 ≤ i < n.

a) Montrer que P admet une unique racine sur R+*. Ind. Considérer P(X)⁄Xn.

b) Soit M ∈ Mn(R) définie par : Mi,1 = i pour 1 ≤ i ≤ n, Mi,i+1 = 1 pour 1 ≤ i < n, et tous les autres coefficients nuls. Montrer que M admet une unique valeur propre strictement positive.

1258. IMT. Soient E est un espace vectoriel de dimension finie et s est une symétrie vectorielle. On pose pour u ∈ L(E), φ(u) = 1 2 (s • u + u • s).

a) Montrer que φ est un endomorphisme de L(E)

b) Calculer φ3 et en déduire un polynôme annulateur de φ.

c) L’endomorphisme φ est-il diagonalisable ?

1259. ENSAM. Pour tout P ∈ Rn[X], on définit U(P) : x↦→ex∫ +∞ xe-tP(t)d t.

a) Montrer que U est un endomorphisme de Rn[X].

b) Cet endomorphisme est-il diagonalisable ? inversible ? Si oui, déterminer son inverse.

1260. TPE. Soit A ∈Mn(R) telle que A3 = A + I. Montrer que A est inversible, puis que det(A) > 0.

1261. CCP. Soit M ∈Mn(C) vérifiant M2 + tM = In.

a) On suppose que M est symétrique. Montrer que M est diagonalisable puis prouver que   tr (M) det (M)≠0.

b) Montrer que M est diagonalisable même si elle n’est pas symétrique.

c) Montrer que M est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de M.

1262. a) Montrer que toute matrice de Mn(C) peut se décomposer comme somme d’une matrice triangulaire supérieure et d’une matrice triangulaire inférieure.

b) Montrer qu’on peut choisir ces deux matrices inversibles.

c) Montrer que toute matrice de Mn(C) peut se décomposer comme somme de deux matrices diagonalisables.

d) Montrer que toute matrice triangulaire Mn(C) est limite d’une suite de matrices inversibles.

1263. TPE. a) Soit P ∈ GLn(R). La matrice Q =( ) P P -P P est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.

b) Soit A ∈ Mn (R) une matrice possédant n valeurs propres positives distinctes. Donner le polynôme caractéristique de B =( 0 A) A 0 . La matrice B est-elle diagonalisable ?

c) Soient En = diag(1,2,...,n) et Kn =( ) (n +1)In En En (n +1)In . Calculer det (Kn ).

1264. IMT. Soit A ∈Mn(R) vérifiant 3A3 = A2 + A + In.

a) La matrice A est-elle inversible ? Si oui, donner A-1.

b) Est-elle diagonalisable ?

1265. CCP. a) Soient A et B dans Mn(C) ayant au moins une valeur propre commune.

i) Montrer qu’il existe α ∈ C et X,Y ∈ Cn non nuls, tels que tAX = αX et BY = αY . En déduire qu’il existe M ∈Mn(C) non nulle telle que MA = BM.

ii) Trouver M pour A = ( ) 1 2 2 1 et B = ( ) 3 1 0 1 .

b) On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient A,B,M dans Mn(C) telles que MA = BM.

i) Montrer que si M est inversible alors A et B ont une valeur propre commune.

ii) Montrer que pour tout P ∈ C[X], on a MP(A) = P(B)M.

iii) On suppose M≠0. Montrer que A et B ont au moins une valeur propre commune.

1266. CCP. Soient A,B,C ∈Mn(C) et M = ( ) A C 0 B .

a) Soient k ∈ N et P ∈ C[X]. Déterminer les blocs diagonaux de Mk et P(M).

b) On suppose que Sp(A) = {λ} et Sp(B) = {μ}, avec λ≠μ. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.

c) Même question dans le cas où λ = μ.

1267. CCP. Pour P,Q ∈ Rn[X], on pose ϕ(P,Q) = n∑ k=0P(k)Q(k).

a) Montrer que ϕ est un produit scalaire.

b) Trouver une base orthonormale de R3[X] pour ce produit scalaire.

1268. CCP. Sur R n[X] on définit l’application (P,Q)↦→⟨P,Q⟩ = n ∑ k=0P(k)(1)Q(k)(1).

a) Montrer que c’est un produit scalaire.

b) Montrer que l’ensemble E = {P ∈ Rn[X],P(1) = 0} est un sous-espace vectoriel de Rn[X] et donner sa dimension.

c) Calculer d(1, E).

1269. CCP. Pour P et Q dans R[X], on pose (P|Q) = ∫ +∞ 0P(t)Q(t)e-t d t.

a) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].

b) Déterminer min(a,b)∈R2∫ +∞ 0(t2 - at - b)2e-t d t.

1270. CCP. Pour A = (ai,j)1≤i,j≤n et B = (bi,j)1≤i,j≤n matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, on pose φ(A,B) = ∑ 1≤i,j≤nai,jbi,j.

a) Montrer que φ est un produit scalaire sur Mn(R).

b) Soit H l’ensemble des matrices de Mn(R) dont la somme des coefficients est nulle. Soit A une matrice de Mn (R). Calculer la distance d(A,H).

1271. TPE. Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 2, dont le produit scalaire est noté (⋅|⋅). Soient F = (x1 , ...,xn) et G = (y1,...,yn) deux familles de vecteurs de E telles que : ∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2, (xi|xj) = (yi|yj).

a) Montrer que F est libre si et seulement si G est libre.

b) Montrer que dimV ect(F) = ⌈⟩⇕V⌉⌋⊔(G).

1272. CCP. Soit (E,⟨,⟩) un espace euclidien de dimension n et B = (e1,...,en) une base orthonormale de E. Soit f ∈ GL(E) un automorphisme tel que : ∀(x,y) ∈ E2, ⟨x,y⟩ = 0 ⇒ ⟨f(x),f(y)⟩= 0.

a) Que dire de la famille Bʹ = (f(e1),...,f(en)) ?

b) En calculant ⟨f(ei) + f(ej),f(ei)- f(ej)⟩ de deux façons, montrer qu’il existe a > 0 tel que ∥f(ei ) ∥2 = a2 pour tout i. Que dire de la famille 1 aBʹ ?

1273. CCP. Soit E = C1([0,1]). Pour f,g ∈ E, on pose ⟨f,g⟩ = ∫ 1 0(fg + fʹgʹ). On considère les sous-espaces V = {f ∈C2([0,1]),fʹʹ = f},  W = {f ∈ E,f(0) = f(1) = 0}.

a) Montrer que la famille (ch,sh) est une base de V .

b) Soient f ∈ V et g ∈ E. Montrer que ⟨f,g⟩ = fʹ(1)g(1) - fʹ(0)g(0).

c) Soient f ∈ V et g ∈ W . Montrer que ⟨f,g⟩ = 0.

d) Soit f ∈ E tel que f(0) = 0, f(1) = ch1. Calculer ⟨f,ch⟩, ⟨f,sh⟩, ∥ch∥2 et ∥sh∥2. En déduire le projeté orthogonal de f sur V .

1274. CCP. Soit A =( ) ( 0 a b) -- ab -0c c0 ∈ M3 (R ). On pose B = tAA.

a) Montrer que B n’est pas inversible.

b) Montrer que B est diagonalisable.

c) Montrer que 0 ∈ Sp(B) et que Sp(B) ⊂ R+.

d) La matrice A est-elle orthogonale ?

e) Montrer que A et B commutent.

f) Montrer que si λ ∈ SpC(A) alors - λ ∈ SpC(A).

1275. Soient (A, C) ∈S2(R)2, B ∈A2(R) et M =( A - B ) B C .

a) Montrer que M est diagonalisable dans M4(R).

b) On prend ici B = 0. Trouver une base de vecteurs propres de M exprimée à partir des vecteurs propres de A et de C.

c) On suppose que G ∈M2(R) et E ∈ GL2(R). Montrer que rg(EG) = rg(GE) = rg(G).

d) On suppose A inversible et on note P =( -1 ) I2 A B 0 I2 . Calculer MP.

e) En déduire le rang de M.

1276. ENSAM. L’espace R3 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique. Soit ω un vecteur non nul de R3 et f : R3 → R3, x↦→ω ∧ x.

a) Montrer que f est un endomorphisme et que, pour tous x,y ∈ R3, ⟨f(x),y⟩ = -⟨x,f(y)⟩.

b) Trouver un polynôme annulateur de f. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

c) Montrer que l’endomorphisme (f - IdR3) • (f + IdR3)-1 est bien défini et déterminer ses propriétés géométriques.

1277. CCP. Soient E un espace euclidien et u ∈ E. Déterminer les réels α tels que x↦→α⟨u,x⟩u-x soit une isométrie de E.

1278. Soit A une matrice réelle symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Soit B ∈Mn,m(R) de rang m.

a) Montrer que : ∀X ∈Mn,1(R) \{0}, tXAX > 0

b) Justifier que m ≤ n. Que peut-on dire de l’application linéaire u canoniquement associée à B ?

c) Montrer que la matrice par blocs C = ( ) At B B 0 est inversible.

d) Calculer C-1 lorsque m = n.

1279. TPE. Soient E un espace euclidien de dimension 3, H un plan vectoriel de E et u≠0 un vecteur orthogonal à H. Soient f un endomorphisme orthogonal de E et s la symétrie orthogonale par rapport à H.

a) Montrer que f • s • f-1 est une symétrie orthogonale. Préciser ses caractéristiques.

b) Montrer que f commute avec s si et seulement si u est un vecteur propre de f.

c) En déduire l’ensemble des endomorphismes orthogonaux commutant avec tous les éléments de O(E).

1280. ENSAM. Quel est le cardinal de On(R) ∩Mn(Z) ?

1281. CCP. Soit A une matrice symétrique réelle. On suppose qu’il existe un entier k ∈ N* tel que Ak = In . Montrer que A2 = In.

Analyse

1282. TPE. Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n et de diagonale λ1, …, λn. On pose, pour p ∈ N * , Tp = T + diag(1⁄p,2⁄p,…,n⁄p).

a) Montrer qu’à partir d’un certain rang, Tp a n valeurs propres distinctes.

b) En déduire que toute matrice de Mn(C) est limite d’une suite de matrices diagonalisables.

1283. Soit, pour n ∈ N*, un = 1 + 1 3 + ⋅⋅⋅ + ---1-- 2n + 1 -αln(n). Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que (un) converge.

1284. TPE. On définit une suite (un) par u0 > 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1⁄un.

a) Montrer que un diverge vers + ∞.

b) Montrer que 1 u2n ≤ 1 un, en déduire que 2 ≤ u2 n+1 - u2 n ≤ 2 + un+1 - un.

c) Montrer que un ∽ √--- 2n.

1285. CCP. Montrer, pour n ∈ N, l’existence et l’unicité d’un réel xn tel que xn - e-xn = n. Montrer que xn ∈ [n,n + 1]. En déduire un équivalent de xn puis un développement asymptotique à deux termes de xn, lorsque n → +∞.

1286. IMT. Donner une condition nécessaires sur (a,b) ∈ R2 pour que la série de terme général (√√ √-----) n+an+1+ b n + 2 soit convergente.

1287. IMT. Prouver la convergence et calculer +∑∞ n=1 ln(1 + --2--- (n+3)n).

1288. TPE. Nature de la série de terme général un = (- 1)n •na-+-(- 1)n où a ∈ R+*.

1289. CCP. Démontrer que la série de terme général un = ln(2n + (-1)n) - ln(2n) est convergente, mais pas absolument convergente.

1290. IMT. Soit (un) la suite définie par u0 ∈ R et, pour n ∈ N, un+1 = e-un n+1.

a) Déterminer la limite de (un) et de (nun).

b) Nature des séries de termes généraux un et (-1)nun ?

1291. CCP. On pose u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1eun+1 = 12un.

a) Montrer ces conditions définissent une unique suite (un).

b) Montrer que (un) converge et trouver sa limite.

c) Montrer que la série de terme général un converge.

d) l’aide de la série de terme général ln(2n+1un+1) - ln(2nun), montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que un ~c2n.

1292. IMT. Soient u0 ∈]0,1[ et, pour n ≥ 0, un+1 = un-+-u2n 2. Montrer que la série de terme général un converge.

1293. CCP. a) Soit f ∈C1(R+, R+*). On suppose que fʹ(x)⁄f(x) tend vers l < 0 quand x tend vers + ∞. Quelle est la nature de la série de terme général f(n) ?

b) Soit f ∈ C1 (R +, R+*). On suppose qu’il existe a > 0 tel que fʹ(x)⁄f(x) ∽ -a⁄x quand x tend vers + ∞. Discuter selon a de la nature de la série de terme général f(n).

1294. CCP. On s’intéresse à la suite définie par u0 ∈]0,π⁄2[ et, pour n ∈ N, un+1 = sin(un).

a) Établir la convergence de cette suite et déterminer sa limite.

b) En considérant un+1 - un montrer que ∑u3 n converge.

c) En considérant ln( ) unu+n1 montrer que ∑u2n diverge.

1295. CCP. Pour α > 1, on pose Sn = ∑n k=1-1- kα et Rn = +∑∞ k=n+1-1- kα. tudier la convergence de la série de terme général Rn⁄Sn.

1296. ENSEA. Résoudre l’équation 3x + 4x = 5x dans R.

1297. CCP. Résoudre l’équation Arcsin(x) + Arcsin√1---x2 = π⁄2.

1298. IMT. Montrer à l’aide de l’inégalité des accroissements finis que :

∀x ∈ R +,  x2- 1+x ≤ arctanx ≤ x.

1299. TPE. Calculer limx→0∫ 3x xcostt d t.

1300. CCP. Soit f : x↦→x + ln(1 + x).

a) Montrer que f définit une bijection de ] - 1,+∞[ sur un intervalle à préciser. Prouver que la réciproque g de f est de classe C∞.

b) Calculer g(0) et gʹ(0). Calculer le développement limité de g à l’ordre 3 en 0.

1301. CCP. Soient (a,b) ∈ R2 avec a < b et f ∈C0([a,b], R) telle que :

∀x ∈ [a, b], f(a + b - x) = f(x). Montrer que ∫ b atf(t)d t = a+b 2∫ b af(t)d t. Calculer ∫π 0t 1+cos2t dt.

1302. CCP. Soient I = ∫ π⁄2 0 ln(sint)d t et J = ∫ π⁄2 0 ln(cost)d t. Montrer que I et J sont convergentes et que I = J. Calculer I + J, en déduire I et J.

1303. Soit I = ∫1 0t ⌊ 1⌋ td t.

a) Trouver trois réels a, b et c tels que : ∀x ∈ R+*, -2x-+1-- x(x+ 1)2 = a- x + -b--- x+ 1 + ---c--- (x + 1)2.

b) L’intégrale I converge-t-elle ?

c) Calculer I.

1304. CCP. Donner la nature des intégrales I = ∫ +∞ 0esint t d t et J = ∫ + ∞ 0 sintsin1 t d t.

1305. IMT. a) Convergence et valeur de l’intégrale ∫ 1 0tn ln2td t, où n ∈ N.

b) Convergence de l’intégrale ∫ +∞ 0ln2t2 1+t d t.

c) Montrer : ∫+∞ 0 2 -ln--t 1 +t2 d t = 2 ∫ 1 0ln2t- 1+t2 d t.

1306. TPE. Soit f : x↦→e-x2 . On donne : ∫ +∞ -∞f(x)d x = √-- π.

a) Montrer que l’on peut écrire f(n)(x) = f(x)Pn(x) où Pn est un polynôme. Préciser le degré et le coefficient dominant de Pn.

b) Existence puis calcul de ∫ +∞ -∞f(x)Pn(x)Pm(x)d x.

1307. CCP. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (fn) définie sur R par fn (x) = cos [(1 + n1)x].

1308. CCP. Pour tout n ∈ N, soit un : x↦→n+2 n+1e-nx2 .

tudier la convergence simple de (un) sur R. Y a-t-il convergence uniforme sur [0,+∞[ ? sur [a, +∞[ pour a > 0 ?

1309. Pour n ∈ N*, on note Gn : ({ [0,1] -→ R ( t)n ( t ↦→ 1 - -- et n.

a) Montrer que : ∀n ∈ N*, ∀t ∈ [0,1], |Gʹn(t)|≤et n-.

b) En déduire que : ∀n ∈ N*, ∀t ∈ [0,1], ||( t)n || || 1- n- et - 1||≤tet -n-.

c) On définit , pour n ∈ N* et x ∈ [0,1], In(x) = ∫ x 0( t) 1- n-n et d t. Montrer que la suite de fonctions (In ) converge simplement sur [0,1].

d) Converge-t-elle uniformément sur [0,1] ?

1310. CCP. Soit F : x↦→ +∑∞ n=0 ln(1+ e-nx). Donner le domaine de définition D de F . La fonction F est-elle continue sur D ? Déterminer F(D).

1311. IMT. On pose : ∀n ∈ N*,∀x ∈ [0,1],un(x) = ln( x-) 1+ n-x- n et S = +∑∞ n=1un.

a) Montrer que S est de classe C1 sur [0,1].

b) Calculer Sʹ(1).

1312. IMT. Soient a un réel fixé et pour n ∈ N, un : x↦→an cos(nx)- n!.

a) Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série de fonctions ∑un.

b) Calculer la somme S de cette série de fonctions.

c) Calculer pour p ∈ N, ∫ 2π 0S(x)cos(px)d x et ∫ 2π 0S(x)sin(px)d x

1313. IMT. Soit j = e2iπ⁄3. Calculer 1 + jk + jk pour tout k ∈ N. En déduire une expression de +∞ ∑ n=0x3n (3n)! pour x ∈ R.

1314. Rayon et somme de la série entière de terme général ((n2 + n + 1) xn)n.

1315. IMT. Soit S : x↦→+∑∞ n=0nn++21xn. Déterminer le rayon de convergence de S(x), puis donner une expression de S avec des fonctions usuelles.

1316. On pose, pour n ∈ N, an = 2(-1)n .

a) Quel est le rayon de convergence de la série entière de terme général (anxn)n ?

b) Exprimer la somme de cette série entière sur son intervalle de définition à l’aide des fonctions usuelles.

1317. ENSAM. Soient (an) et (bn) deux suites de réels strictement positifs telles que an ~ bn . On suppose que la série entière f(x) = +∑∞ n=0anxn a un rayon de convergence infini.

a) Quel est le rayon de convergence de la série entière g(x) = +∑∞ n=0bnxn ?

b) Montrer qu’il existe une suite (γn) tendant vers 0 telle que an = bn(1 + γn) pour tout n ∈ N .

c) Soit p ∈ N . Justifier l’existence de vp = supn≥p|γn|.

d) Établir l’inégalité : ∀x > 0, || |f(x) g(x) - 1|| |≤---1--- bp+1xp+1∑p n=0bn|γn|xn + vp+1.

e) Montrer que f(x) ~ g(x) lorsque x → +∞.

f) Application. Trouver un équivalent au voisinage de + ∞ de +∑ ∞ n=0(1 + -1- n+1)n+1xn n!.

1318. TPE. a) Donner le développement en série entière de √11-x-.

b) En déduire celui de (1-1x)3⁄2-.

c) l’aide d’un produit de Cauchy, montrer que ∑n k=014k( ) 2k k = 2n4+n1( ) 2n n.

1319. CCP. Soit an = ∫ 1 0(1+t2) 2n d t.

a) Montrer que la suite (an) est convergente, et déterminer sa limite.

b) Montrer que la série de terme général (-1)nan est convergente.

c) Montrer que : ∀n ∈ N, an ≥ 1⁄(2n + 1). En déduire le rayon de convergence R de ∑anxn.

d) Soit f : x↦→ +∞∑ n=0anxn. Montrer que f vérifie sur ] -R,R[ une équation différentielle que l’on explicitera. Ind. Chercher une relation de récurrence entre les an.

1320. CCP. Soient a ∈ R avec |a| < 1 et f : x↦→+∑∞ n=0 sin(anx).

a) Montrer que f est définie et de classe C∞ sur R.

b) Montrer que, pour tout k ∈ N*, |fk(x)|≤11-|a|.

c) Montrer que f est développable en série entière sur R.

1321. TPE. Soit x > 0. Pour n ∈ N, on pose In = ∫ +∞ xe-ttn n! d t. Justifier l’existence de In puis déterminer la limite de la suite (In).

1322. TPE. Existence et valeur de limn→+∞∫ +∞ 0----1n--x ch(x)+x e d x.

1323. IMT. On pose, pour n ∈ N, In = ∫ 1 0 n -x--- 1+ xd x.

a) Montrer que limn→+∞In = 0.

b) Calculer I0 , I1, In + In+1.

c) Montrer que : ∀n ∈ N*, (-1)n In = ln2 + ∑n k=1 k (- 1) k.

d) Montrer que la série de terme général ( ) (--1)n nn≥1 converge et calculer sa somme.

1324. TPE. Pour p ∈ N, on pose Ip = ∫ +∞ 0 dt ch2p+1t.

a) Justifier l’existence de Ip.

b) Calculer I0 .

c) Trouver une relation entre Ip et Ip+1.

d) Calculer Ip .

1325. CCP. Pour n ∈ N, soit In(α) = ∫ 1 0tn(1 - t)α d t.

a) Pour quelles valeurs de α cette suite est-elle définie ? convergente ?

b) Pour quelles valeurs de α la série de terme général In(α) est-elle convergente ? Calculer alors la somme de la série.

1326. ENSAM. Donner un développement asymptotique à deux termes de un = ∫ 1 0--1n 1+x d x lorsque n → +∞.

1327. CCP. Déterminer la nature des séries de termes généraux (-1)n --n--∫ +∞ ne-t2 d t et

(-1)n ∫n 0e-n2t2 d t.

1328. Navale. Soit x > 0. Justifier l’existence de f(x) = ∫ x 0 e-t √t(x-t) d t. Déterminer la limite de f en + ∞.

1329. IMT. Soit f : x↦→∫ +∞ 0--d3t-3- 1+t+x.

a) Montrez que f est définie et continue sur R+.

b) Calculez f(0). Ind. On pourra poser u = 1⁄t.

c) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers + ∞.

1330. On note I = ∫ + ∞ 0sint td t et F(x) = ∫ +∞ 0sint- t (1 - e-xt)d t

a) Montrer que I est bien définie.

b) Montrer que F est définie sur [0,+∞[, que F est continue sur [0,+∞[ et que F est dérivable sur ]0, +∞[.

c) En déduire la valeur de I.

1331. ENSAM. On pose f(x) = ∫ 1 0√----- 1- t2 cos(xt)d t. Montrer que f est paire et de classe C2 sur R. Montrer que f est solution de l’équation xyʹʹ + 3yʹ + xy = 0. Ind. Utiliser une intégration par parties.

1332. On pose f(t) = ∫ +∞ 0e-x2  cos(2xt)d x.

a) Montrer que f est définie et continue sur R.

b) Montrer que f est de classe C1 sur R et calculer fʹ.

c) On admet que ∫ +∞ 0e-x2 d x = -- √π- 2. Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.

1333. IMT. On note, x étant un réel, I(x) = ∫ 1 0 ln(t) ln(1 - tx)d t.

a) Montrer que I est définie sur R+*.

b) Montrer que I est une fonction croissante.

c) Calculer , pour tout a > 0, ∫ 1 0ta ln(t)d t

d) En déduire une expression de I comme somme de série.

1334. IMT. On considère f : x↦→∫ +∞ 0 - xt -e--- 1+ t2 d t.

a) Quel est le domaine de définition de f ? Calculer f(0).

b) Étudier la continuité de f.

c) Montrer que f est de classe C2 sur R+* et trouver une équation différentielle vérifiée par f.

d) Quelle est la limite de f en + ∞ ?

1335. TPE. Soient g ∈C0([0,1], R) et G : x ∈ [0,1]↦→12∫ 1 0|x - t|g(t)d t.

a) Montrer que G est de classe C2 et calculer Gʹʹ.

b) En déduire l’existence d’une fonction f telle que fʹʹ = g et f(0) = f(1) = 0. Y a-t-il unicité d’une telle fonction f ?

1336. CCP. Pour tout n ∈ N, on pose un = ∫ 1 0xn sin(πx)d x.

a) Montrer que la série de terme général un converge.

b) Montrer que +∞∑ n=0un = ∫ π 0sinxx d x.

1337. Soit I = ∫ 1 0-tln(t)2 (1 - t)2dt

a) Justifier l’existence de I.

b) Montrer que I = 2(+ ∞ + ∞ ) ∑ 1-- ∑ 1- n=1 n2 n=1 n3.

1338. ENSAM.Convergence de la série +∑∞ n=0(-1)n∫ π⁄2 0 cosnxd x et calcul de la somme.

1339. IMT. Pour n ∈ N, soit fn : t ∈ [0,1]↦→( 2 1+2t-)n.

a) Montrer que la suite (fn) converge simplement.

b) Montrer que la suite (an) définie par an = ∫ 1 0fn converge.

c) Montrer que la série ∑(-1)nan converge et calculer sa somme.

1340. IMT. Trouver une, puis toutes les solutions développables en série entière de l’équation x(x - 1)yʹʹ + 3xyʹ + y = 0.

1341. Résoudre l’équation différentielle : t(t2 - 1)yʹ + 2y = t2. Y-a-t-il des solutions définies sur R ?

1342. TPE. Soit l’équation différentielle  (E) : yʹʹ + f(x)y = 0, où f est continue et intégrable sur R.

a) Montrer que si y1 et y2 sont solutions de (E) alors yʹ1y2 - yʹ2y1 est constante sur R.

b) Montrer que si y est une solution de (E) bornée sur R alors yʹ(x) admet une limite finie quand x tend vers + ∞, puis montrer que cette limite est forcément nulle.

c) Montrer que (E) admet nécessairement une solution non bornée.

1343. CCP. Soit λ ∈ R+* et E l’équation différentielle xyʹ + λy = 1 1+x.

a) Exprimer à l’aide d’une intégrale les solutions de E sur R+*.

b) Montrer qu’il existe une unique solution bornée au voisinage de 0+.

1344. CCP. On considère l’équation différentielle (*) : x(1 - x)yʹʹ + (1 - 3x)yʹ- y = 0.

a) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions de (*). Pourquoi y a-t-il d’autres solutions ?

b) Déterminer toutes les solutions de (*) sur R. On fera le changement de variable y(x) = z(x)⁄(1 - x) et on soignera les raccords.

1345. IMT. Soit A =( ) (10 01 20) 2 0 1 .

a) Justifier sans calcul que A est diagonalisable.

b) Déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.

c) Résoudre le système différentiel ʹ ʹ ʹ (x = x+ 2z,y = y,z = 2x+ z).

1346. CCP. Déterminer les extrema éventuels sur R2 de la fonction f : (x,y)↦→x2 + xy + y2 - 5x-y.

1347. CCP. On pose f(x) = x3-y3- x2+y2 pour (x,y)≠(0,0) et f(0,0) = 0. La fonction f est-elle continue sur R 2  ? C1 sur R 2 ? Existence et calcul de ∂2f ∂y∂x-.

1348. CCP. Soit f : (x,y) ∈ [-1,1]2↦→y3x4 + ln(1 + y4). Cette fonction admet-elle des extrema globaux ? locaux ?

1349. CCP. Soit f(x,y) = 32 xx2y+y2 si (x,y) ∈ R2 \{(0,0)} et f(0,0) = 0. Montrer que la fonction f ainsi définie est de classe C1 sur R2.

1350. TPE. Trouver les plans tangents à la surface d’équation z2 = xy et contenant la droite d’équations : x = 2 et y + z = 1.

1351. CCP. Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E dont les valeurs propres sont strictement positives.

a) Montrer qu’il existe une base orthonormale (e1,e2,...,en) telle que f soit représenté dans cette base par une matrice diagonale.

b) Montrer que, pour tout x ∈ E \{0}, ⟨f(x),x⟩ > 0.

c) On suppose dorénavant que E = Rn, muni du produit scalaire canonique. Soit v ∈ Rn. Pour tout x ∈ R n , on note g(x) = 1 2⟨f(x),x⟩-⟨v,x⟩. Montrer que g est de classe C1 et que pour x,h ∈ E, on a dgx (h) = limt→0g(x+th)-g(x) -----t----.

d) En déduire la valeur de la différentielle de g en x appliquée aux ei et la valeur du gradient de g.

e) Montrer que g n’admet qu’un seul point critique c que l’on précisera.

f) Montrer que g atteint au point c un minimum global. Y a-t-il d’autres extrema ?

Probabilités

1352. TPE. On lance une pièce équilibrée. Soit X la variable aléatoire réelle donnant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux fois face. Calculer la loi et l’espérance de X, si elle existe.

1353. CCP. Deux joueurs jouent avec des pièces équilibrées. Ils lancent chacun n fois une pièce. Celui qui gagne est celui qui obtient le plus grand nombre de fois pile. Quelle est la probabilité qu’il y ait un gagnant ?

1354. CCP. Soit (An) une suite d’événements mutuellement indépendants.

a) Soient n, p ∈ N. Montrer que la probabilité qu’aucun des événements An,...,An+p ne se réalise est inférieure ou égale à exp(-n∑+p k=nP(Ak)).

b) On suppose que la série de terme général P(An) est divergente. Montrer qu’il est presque impossible qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’entiers n pour lesquels An est réalisé.

1355. ENSAM. Soit T une variable aléatoire telle que T(Ω) = [[1,k]]. On considère k + 1 variables aléatoires (Xi) 0≤i≤k suivant une même loi à valeurs dans N. On suppose que toutes ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes. On définit enfin une variable aléatoire Y par Y (ω) = T(∑ω) i=0Xi(ω). Montrer que si les Xi admettent une espérance alors Y aussi. Donner sous ces hypothèses une expression de E(Y ) en fonction de E(Xi) et E(T).

1356. CCP. Dans un casino, une machine renvoie un entier naturel N non nul selon la loi de probabilité : ∀n ∈ N*, P(N = n) = 1n- 2. Le joueur gagne N jetons si N est pair ; il perd N jetons si N est impair.

a) Quelle est la probabilité de gagner une partie ?

b) Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur.

1357. CCP. On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On note Xn le rang du premier tirage où l’on obtient une boule différente de la première boule tirée.

a) Justifier que Xn est bien une variable aléatoire discrète et donner sa loi.

b) Justifier l’existence de l’espérance de Xn et la calculer.

c) On note Y n le rang du premier tirage à l’issue duquel toutes les boules ont été tirées au moins une fois. Donner la loi de Y 2 puis celle de Y 3.

1358. CCP. On donne : ∀p ≤ n,  n ∑ k=p(k) p = (n+1) p+1. On dispose d’une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On tire deux boules au hasard. On note X (resp. Y ) la variable aléatoire correspondant au numéro le plus petit (resp. le plus grand) des deux boules.

a) Déterminer la loi de (X,Y ). En déduire les lois de X et de Y .

b) Calculer E(Y ), E(Y (Y - 2)) et V (Y ).

c) Montrer que n + 1 - X suit la même loi que Y . Calculer E(X) et V (X).

d) Calculer E(X(Y - 2)) et Cov(X,Y ).

1359. CCP. On lance un dé à 6 faces. Les lancers sont indépendants et le dé n’est pas pipé. On note Xk la variable aléatoire égale à la valeur obtenue au k-ième lancer.

a) Déterminer la loi de Xk et la fonction de répartition F associée à Xk.

b) On note Zn la valeur maximale obtenue au bout de n lancers. Déterminer la fonction de répartition Fn de Zn en fonction de F .

c) Déterminer la limite de (Fn) lorsque n tend vers l’infini. La convergence est-elle uniforme ?

d) On note Y n la valeur minimale obtenue au bout de n lancers. Déterminer sa fonction de répartition.

1360. ENSAM. On considère un détecteur de particules ayant une probabilité de détection de chaque particule égale à p ∈ ]0,1[. On note N et S les variables aléatoires qui comptent respectivement le nombre de particules arrivant sur le capteur et le nombre de particules détectées. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ.

a) Soient s, n ∈ N. Calculer P(S = s∣N = n) et P(S = s et N = n). En déduire la loi de S.

b) Donner la loi de N - S sans calcul.

c) Les variables S et N - S sont-elles indépendantes ?

d) Même question pour S et N.

1361. ENSAM. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p. On pose q = 1 - p et Y = |X1 - X2|.

a) Calculer P(Y = 0). Soit n ∈ N. Montrer que P(X1 - X2 = n) = pqn 1+q. En déduire la loi de Y .

b) Montrer que Y admet une espérance et la calculer.

c) Montrer que E((X1 - X2)2) = 2V (X1). En déduire que Y admet une variance et la calculer.

1362. Soit (Xn )n∈N* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[. On note ∀n ∈ N*, Y n = Xn + Xn+1 et Mn = 1 n n∑ i=1Y i

a) Les variables aléatoires Y n sont-elles mutuellement indépendantes ?

b) Calculer l’espérance et la variance de Mn.

c) Énoncer la loi faible des grands nombres. Peut-on l’appliquer ici ?

1363. IMT. Soient X et Y deux variables aléatoires. On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈ R+* et qu’il existe p ∈ [0,1] tel que, pour tout m ∈ N, la loi conditionnelle de X sachant Y = m est la loi binomiale de paramètres (m,p). Donner la loi de X.

1364. CCP. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre pi, et que 1n∑n i=1pi-→n →∞ p. Montrer que, ∀ε > 0, P(|∑ | ) |1nni=1Xi-p| ≥ ε-→n →∞ 0.

1365. CCP. Soient a,n ∈ N*. On considère N = an clients qui s’approvisionnent chez n fournisseurs. Chaque client choisit un fournisseur au hasard. Pour i ∈ [[1,n]], on note Xi le nombre de clients du fournisseur i et Y le nombre de fournisseurs n’ayant aucun client.

a) Donner la loi, l’espérance et la variance de Xi.

b) Que vaut X1 + ⋅⋅⋅ + Xn ? En déduire E(XiXj) et Cov(Xi,Xj) pour i≠j. Donner l’expression du coefficient de corrélation linéaire de Xi et Xj.

c) Soit βi la variable aléatoire indicatrice de l’événement : ≪ le fournisseur i n’a pas de client ≫. Exprimer Y en fonction des βi. Déterminer E(Y ).

d) Calculer Cov (βi,βj).

e) Déterminer la variance de Y .

Géométrie

1366. TPE. Soit C la courbe d’équation : { x(t) = 2 cos(t)- cos(2t) y(t) = 2 sin(t)- sin(2t). Tracer cette courbe en précisant les tangentes éventuelles.

Informatique

1367. ENSAM. Python. a) Une année n est bissextile si n est divisible par 4 mais pas par 100, ou si n est divisible par 400. Écrire une fonction bissextile(n) qui prend en argument une année n et renvoie un booléen indiquant si l’année n est bissextile ou non.

b) Écrire une fonction jours(j,m,a) qui comptabilise le nombre de jours écoulés entre le 1er janvier de l’année a et la date j/m/a saisie en argument.

b) Écrire une fonction nombreDeJours(j,m,a) qui renvoie le nombre de jours écoulés entre le 1er janvier 1970 et la date j/m/a.

d) Les horloges internes des ordinateurs étaient autrefois codées sur 32 bits, soit un décompte de 232 - 1 secondes au maximum. Les horloges sont initialisées au 1er janvier 1970. quelle date un bug se produira-t-il ?

1368. ENSAM. Python. a) Pour un nombre entier n, que renvoie l’instruction list(str(n)) ?

b) crire une fonction somme qui à tout entier naturel associe la somme de ses chiffres.

c) Un nombre est dit adéquat si la somme de ses chiffres est un multiple de 10. Écrire une fonction test qui renvoie le booléen True si le nombre est adéquat, et False sinon.

d) Écrire une fonction modification(n) qui change le chiffre des unités de n pour qu’il soit adéquat. Si n est déjà adéquat, la fonction le renvoie sans modification.

e) Tester la fonction pour dix entiers choisis au hasard entre 10000 et 100000 grâce à la fonction randint.

1369. ENSAM. Python. a) Soient p et q deux entiers, q non nul. crire une fonction qui renvoie la partie entière de p⁄q.

b) crire une fonction qui prend en arguments p, q et un entier n et qui renvoie une liste contenant les n premières décimales de p⁄q.

c) La partie décimale de certains nombres est périodique à partir d’un certain rang (par exemple 12,72123123123...). crire une fonction d’arguments p et q, qui renvoie la partie périodique de p⁄q.

d) Soit e un nombre décimal dont la partie décimale est périodique à partir d’un certain rang. crire une fonction qui renvoie deux entiers p et q premiers entre eux tels que p⁄q = e.

1370. ENSAM.Python. a) Précisez concrètement ce que fait ce programme :
>> from numpy.random import rand
>> LR = rand(6)
>> LR<0.5
>> 1*(LR<0.5)

b) Créer une fonction tirer qui prend en argument un entier n et renvoie une liste de n tirages successifs indépendants suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1⁄2.

c) Calculer numériquement l’espérance du nombre de tirages ayant donné un 1.

d) Créer une fonction qui prend en argument une liste seq de 0 et de 1 et renvoie le temps d’apparition de la séquence seq, c’est-à-dire le nombre de tirages à faire pour trouver cette séquence dans la liste des tirages. Par exemple, pour la séquence [1,0,1,1] dans la liste [0,0,1,0,0,1,0,1,1], la fonction renvoie 8.



[Épreuves orales des concours]

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