[Épreuves orales des concours]

Algèbre

1153. TPE. Soit P = X3 - X + 1.

a) Montrer que P a trois racines simples a, b et c.

b) Calculer a2 + b2 + c2 et a7 + b7 + c7.

1154. IMT. Soit E l’ensemble des matrices de la forme ( ) a b - b a , avec a et b réels.

a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2(R) et donner sa dimension.

b) Montrer que E est un sous-anneau de M2(R).

1155. ISUP. Soient A ∈Mn(C) et ϕA l’application définie de Mn(C) dans lui-même par ϕA (M) = AM. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que ϕA soit bijective.

1156. IMT. Soient n ∈ N*, A ∈Mn(R) et ϕ une forme linéaire de Mn(R). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur ϕ(A) pour que l’application f : M↦→M - ϕ(M)A soit bijective de Mn (R ) sur lui-même.

1157. TPE. Soit ϕ une forme linéaire sur Mn(R). Montrer l’existence d’une matrice A ∈Mn(R) telle que ∀M ∈ Mn(R), ϕ(M) = Tr(AM).

1158. ENSEA. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3, e une base de E, et u ∈L(E). On définit ϕ sur E3 par ϕ(x,y,z) = dete(u(x),y,z) + dete(x,u(y),z) + dete(x,y,u(z)). Étudier ϕ.

1159. ENSEA. On pose ∀k,i ∈ N*,d[k] i = di(di - 1)⋅⋅⋅(di - k + 1) et d[0] i = 1. Calculer V (d1 , ..., dn ) = || || || 1 1 ... 1 || || d1 d2 ... dn || ||[..n.-1] [n..-.1] ... [..n-.1]|| d1 d2 ... dn

1160. IMT. Soit H = Vect{AB - BA; A,B ∈ Mn (R)}.

a) Montrer que l’application trace Tr est une forme linéaire sur Mn(R), et que Tr(AB) = Tr(BA) pour tout couple de matrices.

b) On note (Ei,j )1≤i,j≤n la base canonique de Mn(R). Calculer Ei,jEi,i et Ei,iEi,j si i ⁄= j.

c) Soit ϕ une forme linéaire de Mn(R) telle que, pour tout couple (A,B) de matrices, ϕ(AB) = ϕ(BA). Montrer que la famille (ϕ, Tr) est liée.

d) Montrer que H = Ker(Tr).

e) Trouver un supplémentaire de H.

1161. CCP. Soit A =( ) |aa1 aa1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ aa1| || 2. 2. 2.|| ( .. .. ..) an an ⋅⋅⋅ an ∈ Mn (R ), à coefficients non nuls.

a) Quel est le rang de la matrice A ?

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit la matrice d’un projecteur.

c) On revient au cas général. On pose B = 2A - Tr(A)In.

d) Calculer le déterminant de B.

e) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que B soit inversible.

f) Calculer B2 . Calculer B-1 dans le cas où B est inversible.

1162. Saint-Cyr. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie, f et g dans L(E) tels que Im (f + g) = Im(f) ⊕ Im(g). Montrer E = Ker(f) + Ker(g).

1163. ICNA. Soient E un R-espace vectoriel et f ∈L(E) vérifiant f3 = id.

a) Montrer que E = Ker(f - id) ⊕ Im(f - id).

b) Montrer que Ker(f - id) = Im(f2 + f + id).

c) Montrer que Ker(f2 + f + id) = Im(f - id).

1164. Navale. Soient A,B ∈Mn(C) telles que rg(AB - BA) = 1. Déterminer (AB - BA)2.

1165. Navale. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v deux endomorphismes de E. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que u + v est un automorphisme de E si et seulement si u est un automorphisme de E.

1166. TPE. Soit A =( ) ( 0 b -a) -ba 0c -c0 . Calculer etA pour t ∈ R.

1167. IMT. Soit D =(-1 0) 0 4 . Déterminer les M ∈M2(R) vérifiant M3 - 2M = D.

1168. TPE. On note M =( ) 1 1 ... 1 - 1 || -1 -1 ... -1 1|| || ... || ||| 1 1 ... 1 - 1||| ( -1 -1 ... -1 1) 2 2 ... 2 - 2 ∈ M2n+1 (R ). Montrer que M est diagonalisable et la diagonaliser explicitement.

1169. IMT. Soient n ∈ N*, Jn ∈Mn(R) la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux d’indice de la forme (i,n + 1 - i) qui valent 1 et An =( | ) -Jn-|In-- In Jn Diagonaliser Jn . La matrice An est-elle diagonalisable ?

1170. TPE. Soient A ∈Mn(R), B = ( ) A 0 A A , P un polynôme de R[X].

a) Calculer P(B).

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable.

1171. ISUP. Soit A une matrice de Mn(C). On note FA l’endomorphisme de Mn(C) qui à une matrice M associe FA(M) = AM. Comparer les spectres de A et de FA.

1172. TPE. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u ∈L(E) et μ le polynôme minimal de u. Soit P ∈ C [X]. Montrer que P(u) est dans GL(E) si et seulement si μ et P sont premiers entre eux.

1173. ISUP. a) Donner une matrice de Mn(C) qui n’est pas diagonalisable.

b) L’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est-il un sous-espace vectoriel ?

1174. CCP. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u ∈L(E) diagonalisable, χu son polynôme caractéristique, (e1,…,en) une base de vecteurs propres de u.

a) Montrer que χu(u) = 0 sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.

b) Soit x = n ∑ i=1xiei un élément de E. Calculer dete(x,u(x),…,un-1(x)).

c) Montrer que les valeurs propres de u sont simples si et seulement si on peut trouver x ∈ E tel que (x, u(x), … , un-1(x)) soit une base de E.

1175. IMT. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 et u ∈L(E) un endomorphisme ayant n valeurs propres distinctes.

a) Que peut-on dire de u ?

b) Montrer que si g ∈L(E) est solution de l’équation (E) g2 = u, alors tout vecteur propre de u est aussi vecteur propre de g.

c) Combien l’équation (E) admet-elle de solutions ?

1176. CCP. a) Soit P ∈ R[X], montrer que l’intégrale ∫ 1 0√P-(t)- 1- td t converge.

b) Soit E = R n [X]. Pour P,Q ∈ E, on pose ⟨P,Q⟩ = ∫ 1 0P(√t)Q-(t)- 1- td t. Montrer que cette application est un produit scalaire de E.

c) Soit A ∈ E. On considère l’application fA qui à P ∈ E associe le reste de la division euclidienne de P par A. Montrer que fA est un projecteur de E. Déterminer son image et son noyau.

1177. CCP. Soit E = C2([0,1], R). Pour f,g ∈ E, on pose ⟨f,g⟩ = ∫ 1 0(fg + fʹgʹ).

a) Montrer que ⟨,⟩ est un produit scalaire sur E.

b) On note U l’ensemble des f ∈ E vérifiant f(0) = f(1) = 0, et V l’ensemble des f ∈ E vérifiant fʹʹ = f. Montrer que U et V sont deux sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux pour le produit scalaire précédent.

c) A-t-on U ⊕ V = E ?

1178. CCP. a) Montrer que l’on définit un produit scalaire de Mn(R) en posant, pour A et B dans Mn (R ), ⟨A,B⟩ = Tr(tAB).

b) Soit M =(0 1 2 ) (2 0 1 ) -1 -1 0 . Calculer la distance de M à S3(R).

c) Soit H l’ensemble des matrices de M3(R) de trace nulle. Montrer que H est un sous-espace vectoriel et calculer sa dimension. Soit J ∈M3(R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Calculer la distance de J à H.

1179. CCP. Soient (E,⟨,⟩) un espace euclidien, a,b deux vecteurs unitaires indépendants, et u : x ∈ E↦→ ⟨a,x⟩b + ⟨b,x ⟩a.

a) Montrer que u est un endomorphisme symétrique.

b) Trouver le noyau de u.

c) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de u.

1180. Saint-Cyr. Soient n dans N*, ∥∥ la norme euclidienne canonique sur Rn, A dans Sn(R), λ1 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ λn les valeurs propres de A comptées avec multiplicité. Pour X dans Rn, soit qA (X) = t XAX.

a) Montrer, pour x dans Rn : λ1∥X∥2 ≤ qA(X) ≤ λn∥X∥2.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que q-A1({1}) soit un compact non vide de Rn.

Analyse

1181. IMT. On note E l’espace vectoriel des fonctions de classe C1 de [0,1] dans R. Pour f ∈ E, on note N(f) = •-----∫-------- f(0)2 + 10 fʹ2(t)dt.

a) Montrer que N est une norme sur E.

b) La comparer à la norme ∥∥∞.

1182. TPE. Montrer que S+n+(R) est un ouvert dense de S+n(R).

1183. Dauphine. a) Soient (un) une suite réelle et, pour tout n, vn = un+1 - un. Montrer que la suite (un ) et la série ∑vn sont de même nature.

b) Pour tout n ∈ N*, on pose xn = √-- nne-n-n-- n!, puis yn = ln( xn+1) xn. Montrer que la série de terme général yn converge.

c) Montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que limn→+∞√--n!---- ne-nnn = c.

1184. CCP. a) Soient (un) une suite réelle convergeant vers l ∈ R et, pour n ∈ N*,

vn = 1 nn-1∑ k=0uk. Montrer que (vn) converge vers l.

b) On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour n ∈ N, un+1 = une-un.

c) Montrer que la suite (un) converge et donner sa limite.

d) On définit vn = --1-- un+1 --1- un. Montrer que (vn) converge vers 1.

e) En déduire un équivalent de un. La série de terme général un converge-t-elle ?

1185. TPE. Soit f : [n0,+∞[→ R, avec n0 ∈ N, de classe C1. On suppose que f est d’intégrale convergente sur [n0,+∞[, et que fʹ est intégrable sur cet intervalle. Montrer que la série ∑f(n) converge. Montrer que ∑sin(π√n) n converge.

1186. Saint-Cyr. Étudier la fonction f  : x↦→∫ x2 x ln(t)2 d t.

1187. IMT. Étudier, suivant α et β dans R, l’intégrabilité sur R+* de x↦→xα ln(1 + xβ).

1188. Existe-t-il un polynôme P tel que ∫ + ∞ 0( 3√------ • ----) x3 + x- P(x)d x converge ?

1189. TPE. Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue et de carré intégrable sur [0,+∞[. Pour x > 0, on pose g(x) = 1- x∫ x 0f(t)d t

a) Peut-on prolonger g par continuité en 0 ? Si oui, avec quelle valeur de g(0) ?

b) Soit (a, b) ∈ R2 avec 0 < a < b. Montrer ∫ abg(t)2 d t = ag(a)2 - bg(b)2 + 2∫ b af(t)g(t)d t.

c) En déduire l’inégalité ∫ b 0g(t)2 d t ≤ 4∫ b 0f(t)2 d t.

d) La fonction g2 est-elle intégrable sur [0,+∞[ ?

1190. Saint-Cyr. Donner une suite de fonctions continues de [0,1] dans R convergeant simplement sur [0, 1] vers une fonction non bornée.

1191. TPE. Montrer que +∑∞ n=1(-1)n-1 x ln( x ) 1+ n→x →0+ ln(2).

1192. Navale. Soit, pour n ∈ N, un : x ∈ R+*↦→---x2--2 (1+n x). Étudier la convergence simple et la convergence uniforme sur R+* des séries de fonctions ∑un et ∑uʹn.

1193. TPE. a) Montrer, pour t ∈ [0,1] : 0 ≤ ln(1 + t⁄2) ≤ t⁄2 et - tln2 ≤ ln(1 - t⁄2) ≤ 0.

b) On définit une suite de fonctions (fn) sur ] - 1,1[ par f0 : x↦→x et, pour n ∈ N, fn+1 : x↦→ ln (1- 1fn(x )) 2. Montrer que cette suite est bien définie et étudier la convergence de la série ∑fn.

1194. IMT. Soit f : x↦→+∞ ∑ n=1--1--- sh(nx).

a) Déterminer le domaine de définition de f. Étudier la continuité de f.

b) Trouver la limite puis un équivalent de f(x) quand x → +∞.

c) Trouver la limite de f en 0.

1195. TPE. Existence et continuité de la fonction f définie sur R+* par f(x) = +∑ ∞ n=1( x) nnx.

1196. IMT. Soit ζ : x↦→+∑∞ n=11x- n.

a) Quel est le domaine de définition de ζ ?

b) Montrer que ζ est continue sur ]1,+∞[.

c) Montrer que ζ est de classe C1, puis de classe C∞.

d) Étudier la convexité de ζ.

1197. IMT. a) Donner le développement en série entière de la fonction Arctan en 0.

b) Montrer que π = 8+∞ ∑ k=0 k (- 1)- 2k+ 1(√2- - 1)2k+1.

1198. TPE. Soient (an)n≥0 et (bn)n≥0 définies par a0 = 1, b0 = 0 et, pour tout n ∈ N, an+1 = -an - 2bn et bn+1 = an + 3bn.

a) Déterminer les rayons de convergence des deux séries entières de termes généraux a -n- n!xn et bn n!xn .

b) Calculer +∞∑ n=0ann!xn et +∑∞ n=0bnn!xn lorsque cela a un sens.

1199. IMT. Soient f : z↦→+∑∞ n=0anzn une série entière de rayon de convergence infini.

a) Soient r ∈ R + et p ∈ N. Montrer ∫ 2π 0f(reit)e-ipt d t = 2πaprp.

b) Montrer que si f est bornée alors f est constante.

1200. CCP. Déterminer limn→+∞∫ 1 0 ln(x)ln(1 - xn)d x.

1201. CCP. On note (un) la suite définie par un = ∫ π⁄4 0 tanntd t.

a) Montrer la convergence de la suite et déterminer sa limite. Déterminer la nature de la série de terme général (-1)nun.

b) Montrer que un+2 = --1-- n+ 1 - un. Montrer que un est équivalente en l’infini à 1- 2n.

1202. ENSEA. Pour n ∈ N, on pose an = ∫ 1 0-1+-nx- (1+ x)n d x. Étudier la convergence de la suite (an) de deux façons différentes.

1203. ENSEA. On pose, pour n ∈ N, An = ∫ 1 0--dt-- 1 + tn

a) Déterminer la limite A de (An) quand n tend vers + ∞.

b) Déterminer un équivalent de A - An quand n tend vers + ∞.

c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ln(An)zn.

1204. Navale. Soient G : x ∈ R↦→∫ 1 0e-x22(t2+1)- t+1 d t et F : x ∈ R↦→∫ x 0e-u2 d u. Exprimer G(x) en fonction de F(x). En déduire la valeur de ∫ +∞ 0e-u2 d u.

1205. TPE. On définit la fonction G par G(x) = ∫ +∞ 0e-xt2 1+t2 d t.

a) Montrer que G est continue sur R+ et de classe C1 sur R+*.

b) Déterminer la limite de G en + ∞.

c) Montrer que G(x) - Gʹ(x) = √1- x∫ +∞ 0e-t2 d t et en déduire la valeur de ∫ +∞ 0e-t2 d t.

1206. IMT. Soit F : x↦→∫ +∞ 0e--2t- x + td t.

a) Étudier l’existence et la continuité de F sur R+*.

b) Déterminer la limite éventuelle de xF(x) quand x → +∞.

1207. IMT. Pour x > 0, on pose F(x) = ∫ 0π⁄2-cost t +xd t.

a) Montrer que F est bien définie et continue.

b) On pose G(x) = ∫ 0π⁄2 cost t+-x-d t -1 x-∫ 0π⁄2 costd t. Montrer que G(x) = O(1⁄x2) quand x → +∞. En déduire un équivalent de F(x) quand x tend vers + ∞.

c) Donner un équivalent de F en 0+.

1208. Saint-Cyr. On rappelle que ζ(2) = 2 π6-. Calculer ∫ 1 0ln(1+t) ---t-- d t.

1209. TPE. Pour x > 1, montrer l’égalité +∑ ∞ n=1 1 --x n∫ +∞ 0tx-1e-t d t = ∫ +∞ 0 tx- 1 -t--- e - 1d t.

1210. IMT. Soient λ ≥ 1 et fλ : x ∈ R+↦→2sh(x) eλx.

a) Montrer que fλ est bornée.

b) On suppose λ > 1. Montrer que fλ est intégrable et exprimer ∫ +∞ 0fλ(x)d x comme somme de série.

1211. ICNA. a) Montrer que la fonction t↦→et ln(t) est intégrable sur ]0,1[.

b) Montrer que ∫1 0et lntd t = -+∑ ∞ n=1 1 n×-n!-.

1212. CCP. Soit (E) l’équation différentielle x2yʹʹ + 4xyʹ + (2 - x2)y = 1.

a) Trouver la solution générale de (E) sur R+* et R-*à l’aide du changement de fonction z = x2 y.

b) Pour une solution de (E) sur R, calculer la valeur en 0. Donner le développement en série entière de x↦→ chx- 1 -x2-- sur R*.

e) Montrer que la fonction précédente se prolonge en une solution de (E) sur R.

1213. TPE. a) Trouver les solutions de l’équation différentielle yʹʹ + y = cos(nx).

b) Soit (an )n∈N une suite réelle. On suppose que la série de terme général an est absolument convergente. Trouver les solutions de yʹʹ + y = +∑ ∞ n=0an cos(nx).

1214. TPE. Rechercher les extrema locaux et globaux de f : (x,y) ∈ R2↦→x4 + y3 - 3y - 2.

1215. TPE. Soit f : (x,y)↦→x4 + y4 - 2(x - y)2. Trouver les extrema locaux de f.

1216. TPE. Soit (S) le système différentiel (2xʹ + yʹ - 3x - y = t,xʹ + yʹ - 4x- y = et). Écrire (S) sous la forme Xʹ = AX + B, où X est une matrice colonne. Résoudre le système

1217. TPE. Résoudre le système différentiel (2xʹ = 5x+ y - z,2yʹ = x + 5y- z,zʹ = 2z).

1218. IMT. Résoudre le système différentiel (x ʹ = y+ z,yʹ = x,zʹ = x+ y + z).

Probabilités

1219. CCP. On considère un fumeur qui désire arrêter de fumer. Pour n ∈ N*, on note Fn l’événement : ≪ le fumeur fume le jour n≫ et pn = P(Fn). Lorsque le fumeur fume un certain jour, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité 1⁄4. S’il ne fume pas un certain jour, il fume le lendemain avec la probabilité 1⁄2.

a) Traduire ces hypothèses en termes de probabilité. Trouver une relation de récurrence vérifiée par (pn ). En déduire une expression de pn et la limite de (pn).

b) On suppose que p1 = 11⁄12. On fait de plus les deux hypothèses supplémentaires suivantes. Si le fumeur fume le premier jour, il fume les deux jours suivants avec une probabilité de 1⁄2. S’il fume le premier jour, il fume le troisième jour avec une probabilité de 1⁄4. Calculer la probabilité que le fumeur fume le premier et le troisième jour, la probabilité qu’il fume les trois premiers jours, la probabilité qu’il fume l’un des trois premiers jours.

1220. ISUP. On a un QCM à n questions avec 4 choix possibles pour chaque question. Pour chaque question on a une probabilité p de connaître la réponse et quand on la connaît on répond juste. Quand on ne connaît pas la réponse, on répond au hasard. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses obtenues en connaissant la réponse, et Y la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard. Trouver la loi de Z = X + Y .

1221. TPE. On dispose d’un dé truqué à 6 faces tel que la probabilité de tomber sur chaque face est proportionnelle au chiffre sur lequel le dé tombe. On note X la variable aléatoire donnant le chiffre tiré. Calculer la loi de X et son espérance.

1222. Navale. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que, pour n ∈ N,

n∑ k=0kP(X = k) = ∑n k=0P(X > k) - (n + 1)P(X > n). En déduire une expression de E(X). Comparer la nature des séries de termes généraux (kP(X = k))k et (P(X > k))k.

1223. ENSEA. a) Soit X une variable aléatoire réelle et bornée. Montrer, pour d ∈ R,

P(X ≥ d) ≤ inf t>0E (etX ) --etd-.

b) Soit p ∈]0, 1[. Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p). Que donne l’inégalité précédente pour Xn et d = αn ?

1224. IMT. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[. Pour n ∈ N*, on note Tn la variable aléatoire donnant le rang du nième succès.

a) Expliciter la loi de T1.

b) Déterminer la loi de Tn.

1225. ISUP. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y sur un même espace probabilisé, ne prenant chacune que deux valeurs. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si leur covariance cov(X,Y ) est nulle.

1226. Saint-Cyr. Soient p dans ]0,1[, X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi G(p), U = max {X,Y }, V = min{X,Y }.

a) Déterminer les lois de U,V , (U,V ).

b) Déterminer la loi de U + V .

c) Calculer E(U + V ).

1227. IMT. Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent les lois binomiales B(n,p) et B(nʹ, pʹ). À quelle condition X + Y suit-elle une loi binomiale ? À quelle condition supplémentaire n - X + Y suit-elle aussi une loi binomiale ?

1228. ISUP. Soient p ∈]0,1[ et (Xn) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi donnée par Xi(Ω) = {-1,1}, P(Xi = 1) = p et P(Xi = -1) = 1 - p. On pose Zn = n∏ i=1Xi. Calculer la loi de Zn.

1229. TPE. Soit une suite (Xn) de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre α ∈]0,1[. Soient p ∈ N* et s1,…,sp ∈{0,1}. Soit Bn = {ω∈Ω,Xnp+1(ω ) = s1,...,X(n+1)p(ω) = sp}.

a) Montrer que les Bn sont mutuellement indépendants.

b) Déterminer l’événement contraire de ⋂ k∈N(⋃ i≥kBi).

c) Montrer que, pour tout k ∈ N, P(⋂ i≥kBi) = 0.

d) En déduire que P(⋂ k∈N(⋃ i≥kBi)) = 1 et interpréter le résultat.

1230. CCP. Soient X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant une même loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[. On définit Z = X⁄Y .

a) Justifier Z(Ω) ⊂ Q+*. Soit r ∈ Q+* un rationnel d’écriture irréductible r = a⁄b. Montrer que P(Z = r) = +∞ ∑ k=1P(X = ka,Y = kb).

b) Justifier E(Z) = E(X)E(1⁄Y ). Calculer E(X), E(1⁄Y ) et en déduire E(Z).

c) Justifier l’inégalité lnx < x - 1 pour x > 0 et x≠1. En déduire E(Z) > 1. Que dire de ce résultat ?



[Épreuves orales des concours]

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