Première preuve 2017

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Préliminaires

1. L’argument central d’un complexe non nul z est l’unique réel θ tel que - π < θ ≤ π et z⁄|z| = e^iθ  ; on le note Argz.

Ici z vérifie : - π < Argz < π.

Les éléments u de ⁺ sont caractérisés par : - π⁄2 < Argu < π⁄2.

La condition u² = z équivaut à |u|² = |z| et 2Argu = Argz (les deux membres de cette égalité ne sortent pas de l’intervalle ] - π,π[).

Ainsi l’unique solution de l’équation en u ⁺ : u² = z est : = e^iθ⁄2 .

2. a) Soit z≠ - 1. Comme |1 + z|² -|1 - z|² = 4Re(z), le signe de |g(z)|- 1 est le même que celui de Re (z). On a ainsi prouvé l’équivalence demandée : (z ⁺) ⇔ (g(z) ).

b) Soit w un complexe ; le seul complexe z autre que - 1 tel que = w est , sa condition d’existence étant w≠1. Ainsi g est une bijection de C \{-1} sur C \{1}, la bijection inverse étant g^-1 : w .

D’après l’équivalence montrée en 2.a), g^-1 induit une bijection de sur ⁺.

3. Pour toute matrice M, la notation M[i,j] désigne le coefficient de M situé à la i^e ligne et la j^e colonne. On notera en colonnes les éléments de Kⁿ. Le produit scalaire canonique sur Rⁿ est donné par : (x|y) = t  xy.

a) Soit H une matrice symétrique réelle. Posons Φ(x) = t xHx = (x|Hx) ; Φ est une forme quadratique sur R ⁿ ; par définition cette forme quadratique est positive si elle ne prend que des valeurs positives. Les valeurs propres de H sont réelles ; soit λ l’une d’elles, et soit v un vecteur propre de H selon λ ; alors Φ(x) = λ(x|x) ; donc si Φ est positive alors λ est positive. Ainsi si t xHx est positif pour tout x, alors H est positive au sens donné dans l’énoncé. La réciproque est vraie car, (e_i) étant une base orthonormale de vecteurs propres de H, il vient t xHx = λ_i(e_i|x)² (λ_i est la valeur propre relative à e_i ).

Posons H = t  MM. On vérifie : t H = H. Pour tout x de Rⁿ, t xHx = (Mx|Mx) ; donc t xHx ≥ 0 pour tout x et t MM est positive. Si M est inversible, toutes ses valeurs propres sont strictement positives et t MM est définie positive ; sinon 0 est valeur propre de M et aussi de t MM ; H est positive non définie.

b) Posons < M,H >   = Tr(t MH) pour toutes M,H de _n(R). D’abord
N(M) =   < M,M >. On obtient l’expression : < M,H >   = M[i,j]H[i,j]. On reconnaît le produit scalaire sur _n(R) pour lequel la base canonique est orthonormale.

4. C’est une répétition de 3.b). Posons < M,H >   = Tr(M^*H) pour toutes M,H de _n(C). D’abord N(M) =   < M,M >. On obtient l’expression :
< M, H >   = M[i,j]H[i,j]. On reconnaît le produit hermitien sur _n(C) pour lequel la base canonique est orthonormale.

I. Matrices de carré I_n

5. a) Le polynôme X² - 1 est scindé à racines simples ; il en résulte que L est diagonalisable et Kⁿ= F ⊕ G où F = Ker(L - I_n) et G = Ker(L + I_n).

Ainsi Lx = x si x F et Lx = -x si x G.

b) En utilisant une base adaptée à la décomposition vue en 5a), on voit que la matrice L est semblable à la matrice diagonale Diag(I_p,-I_q) où p = dimF et q = dimG. Donc Tr(L) = dim F - dimG.

6. a) La similitude entre matrices est une relation d’équivalence dans _n(K).

Toute matrice M qui est semblable à une matrice L de _n est elle-même dans _n ; en effet pour toute matrice P inversible, (PLP^-1)² = (PL²P^-1)² = I_n.

Ainsi la similitude entre matrices induit dans _n une relation d’équivalence.

b) D’après 5.b) la trace d’un élément L de _n est p-q où p et q sont des entiers naturels de somme n. Ainsi Tr (L) = n - 2q où q est un entier compris entre 0 et n. La condition Tr(L) = n - 2q revient à : L ~ diag(I_n-q,-I_q). On en déduit que L et M, éléments de _n, sont semblables si et seulement leurs traces sont égales.

c) Dans _n , le nombre de classes d’équivalence pour la relation de similitude est n + 1, le nombre d’entiers entre 0 et n.

II. Si Sp (A) est inclus dans alors (A^l) tend vers 0

7. a) La matrice B n’a que 0 pour valeur propre. Le polynôme caractéristique unitaire de B est Xⁿ puisque sa seule racine est 0. Donc Bⁿ = 0 d’après le théorème de Cayley-Hamilton.

b) La formule du binôme s’applique : (B + αI_n)^l = (l i) α^l-iBⁱ. Compte tenu de Bⁿ = 0, en convenant : ( l i) = 0 si l < i, il vient : A^l = c_i,lBⁱ, où c_i,l = (l i) α^l-i.

c) Si α = 0 alors A^l = 0 pour l ≥ n. Le résultat est évident dans ce cas. Supposons désormais α non nul.

L’égalité de b) exprime A^l comme combinaison linéaire à coefficients variables c_i,l des n matrices I_n , B, … , B^n-1 . Il suffit de montrer que chaque c_i,l tend vers 0 quand l tend vers + ∞. Or pour l ≥ i, c_i,l+1 ⁄c_i,l = α, qui tend vers α quand l tend vers + ∞. Puisque |α| < 1, la règle de d’Alembert montre que (c_i,l)_l tend vers 0.

8. Les notations qui suivent seront conservées dans la suite.

Notons E₁ , . . ., E_k les sous-espaces caractéristiques de A, les valeurs propres associées étant α₁, . . ., α_k . Notons n_i la dimension de E_i.

Pour tout x de E_i , Ax est dans E_i. Ainsi xAx induit dans E_i un endomorphisme dont l’unique valeur propre est α_i. Choisissons une base _i de E_i telle que la matrice de cet endomorphisme est

où T_i est triangulaire supérieure stricte. En fait ce choix restrictif de _i n’est pas ici nécessaire, mais il sera utile dans des questions ultérieures.

En réunissant les bases _i on construit une matrice inversible Ω telle que

On en déduit Ω^-1 A^lΩ = Diag(A,A,…,A). D’après 7c), comme |α_i| < 1, la suite (A) tend vers 0. Ainsi Ω^-1 A^lΩ tend vers la matrice nulle quand l tend vers + ∞.

L’application MΩMΩ^-1 est continue (c’est un endomorphisme linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie). On en déduit que (A^l)_l tend vers 0.

III. tude des suites récurrentes u_l+1 = f(u_l)

9. Si α = ±i alors f(α) = 0 et la suite u^α n’est pas définie pour l’indice 2.

10. La fonction f est impaire. Donc si u^α est définie, il en est de même de u^-α et de plus, si u^α = (u_l )_lN alors u^-α = (-u_l)_lN ; si u^α converge, alors u^-α converge et s^-α = -s^α .

Supposons α réel et strictement positif. La fonction f stabilise ]0,+∞[, donc la suite u^α est bien définie et tous les u_l sont strictement positifs.

Calculons : f(x) - 1 =  ; donc f(x) ≥ 1 pour tout x > 0 ; ainsi u_n ≥ 1 pour tout n ≥ 1. Puis : f(x) - x = et f(x) ≤ x pour tout x ≥ 1 ; ainsi u_l+1 ≤ u_l pour tout n ≥ 1. La suite u^α est minorée par 1 ; elle décroît à partir de l’indice 1 ; elle converge donc vers un réel x ≥ 1. Comme f est continue sur ]0,+∞[, f(x) = x et x = 1. Ainsi s^α = 1 si α est un réel strictement positif.

Supposons α réel et strictement négatif. Alors d’après la parité de f, la suite u^α est croissante à partir de l’indice 1 et converge vers - 1. Ainsi s^α = -1 si α est un réel strictement négatif.

11. a) Chacune des parties ⁺ et ^- est stable par passage à l’inverse, addition, multiplication par réel strictement positif. Il en résulte que f stabilise ⁺ comme ^- ; si α est dans ⁺ ou dans ^- , u^α est bien définie. Pour que la suite u^α ne soit pas définie, il faut que α ne soit ni dans ⁺ ni ^- , donc que α soit imaginaire pur.

b) Revenons à la fonction g apparue dans 2) du préambule. Elle est une bijection de C \{-1} sur C\ {1}, la bijection inverse étant g^-1 : w. On a vu que le signe de |g(z)|- 1 est le même que celui de Re (z). Une partition de C \{-1} est (⁺,^-\{-1},₀) où ₀ est la droite des imaginaires purs. L’image par g de cette partition est (,ʹ,₀ \{1}) où ʹ est le complémentaire du disque fermé unité et ₀ est le cercle trigonométrique.

En particulier g induit une bijection de ⁺ sur et une bijection de ^-\{-1} sur ʹ.

Nous avons w_l = g^-1(β^2l ). Si |β| < 1 (resp. > 1) alors la suite (β^2l ) est à valeurs dans (resp. ʹ) et est bien définie.

Pour z≠ 1 : f(g^-1(z)) = = = g^-1(z²).

Si z = β^2l alors z² = β^2l+1  ; ainsi f(w_l) = w_l+1.

Si |β| < 1 alors la suite (β^2l ) tend vers 0 et la suite (w_l) tend vers 1.

Si |β| > 1| alors on écrit : w_l = , la suite (β^-2l ) tend vers 0 et la suite (w_l) tend vers - 1.

c) Posons β = g(α). Selon que α est dans ⁺ ou dans ^-, β est dans ou ʹ. Puis : α = g^-1 (β).

En utilisant la relation : f(g^-1(z)) = g^-1(z²), on montre par récurrence, partant de u₀ = α = g^-1 (β) : u_n = g^-1(β²ⁿ ). D’après b), la suite u^α converge et si α est dans ⁺ (resp. ^- alors s^α = 1 (resp. - 1).

IV. tude des suites récurrentes de matrices : U_l+1 = (U_l + U)

12. Dans ce qui suit on notera f^l la puissance l^e de f au sens de la composition.

a) Notons λ₁ , … , λ_n les valeurs propres de A comptées avec leurs multiplicités. On suppose que les p premières sont dans ⁺ et les n-p dernières dans ^-. Soit, pour tout i, e_i un vecteur propre de A selon la valeur propre λ_i. Notons Ω la matrice dont les colonnes sont les e_i. Par construction : Ω^-1 AΩ = diag (λ₁,…,λ_n).

Pour tout i, Ae_i = λ_ie_i ; puis : A^-1e_i = (1⁄λ_i)e_i et (A + A^-1)e _i = f(λ_i)e_i.

De la même façon, par récurrence sur l, U_l est bien définie et :

b) La suite (f^l (λ_i)) tend vers 1 pour 1 ≤ i ≤ p et - 1 pour p + 1 ≤ i ≤ n. Donc
(Ω^-1 U_l Ω)_l ) tend vers Diag(I_p,I_n-p). On en déduit (comme à la fin de II 7)) que (U_l)_l tend vers L^A , où L^A = ΩDiag(I_p,I_n-p)Ω^-1.

La matrice L^A est diagonalisable (dans la même base que A) et ses valeurs propres sont ± 1. C’est dire que (L^A )² = I_n.

c) La suite (Tr (U_l)) tend vers Tr(L^A). Comme L^A est semblable à Diag(I_p,-I_n-p), sa trace est 2p - n. De plus (Tr(U_l) + Tr(U)) n’est autre que Tr(U_l+1). La limite demandée est donc 2p - n, où p est le nombre de valeurs propres de partie réelle strictement positive.

13. a) On a U₁ = (A + A^-1). Cette définition est licite car 0 n’est pas valeur propre de A.

Reprenons les notations de la solution de II 8).

Les notations T_i , Tʹ_i, Tʹʹ_i désignent certaines matrices triangulaires supérieures strictes.

On part de : Ω^-1 AΩ = Diag(A₁,A₂,…,A_k), où A_i = α_iI_ni + T_i. Puis :
Ω^-1 AΩ = Diag (A,A,…,A), et Ω^-1U ₁Ω = Diag(U_1,1,U_1,2,…,U_1,k), où pour tout i, U_1,i = (A_i + A).

De A_i = α_i I_ni + T_i, on tire A = (1⁄α_i)I_ni + Tʹ_i puis U_1,i = f(α_i)I_ni + Tʹʹ_i.

Par récurrence sur l, la suite U^A est bien définie, et, pour tout l :
Ω^-1 U_l Ω = Diag (U_l,1,U_l,2,…,U_l,k) où pour tout i, U_l,i = f^l(α_i)I_ni + T_l,i où T_l,i est triangulaire supérieure stricte.

Les valeurs propres de U_l sont les images par f^l des valeurs propres de A. Comme f stabilise ⁺ et que A vérifie (P+), chaque U_l vérifie (P+).

b) Posons ici B = (A-I_n)(A + I_n)^-1 ; cette définition est licite car - 1 n’est pas valeur propre de A. On peut inverser la relation : B -I_n = -2(A + I_n)^-1. On voit que 1 n’est pas valeur propre de B ; B - I_n est inversible et A = 2(I_n - B)^-1 - I_n = (I_n + B)(I_n - B)^-1.

Soit β une valeur propre de B : Bv = βv pour un certain vecteur v non nul, puis Av = αv où α = = g^-1(β).

Il existe bien, pour toute valeur propre β de B, une valeur propre α de A telle que β = g(α). (Les notations α et β de l’énoncé ont été inversées ici).

c) Posons W_l = (U_l - I_n)(U_l + I_n)^-1.

La matrice U_l - I_n commute avec U_l + I_n et aussi (U_l + I_n)^-1 ; on peut donc écrire : W = (U_l - I_n )²(U_l + I_n)^-2.

D’autre part : W_l+1 = (U_l+1 - I_n)(U_l+1 + I_n)^-1.

Or : U_l+1 -I_n = (U_l-I_n)²U et U_l+1 +I_n = (U_l+I_n)²U, puis (U_l+1 +I_n)^-1 = U _l(U_l+I_n)^-2. Enfin : W_l+1 = (U_l - I_n)²(U_l + I_n)^-2 = W.

Comme W₀ = B, il vient : W_l = B^2l .

d) On a vu en b) que toute valeur propre de B est du type g(α) où α est une valeur propre de A. Comme Sp A est inclus dans ⁺, SpB est inclus dans . D’après II 8), B^2l tend vers 0 quand l tend vers + ∞.

e) Comme cela a été fait pour A en fonction de B, on écrit : U_l = 2(I_n - W_l)^-1 - I_n.

De c) et d) on déduit : (W_l) tend vers 0.

L’application MM^-1 de GL_n(C) dans _n(C) est continue : en effet les coefficients de M^-1 sont des fonctions rationnelles, bien définies sur GL_n(C), des coefficients de M. Il en résulte que U_l tend vers I_n quand l tend vers + ∞.

Ainsi lorsque A vérifie (P+), la suite U^A converge et L^A = I_n.

14. La matrice -A vérifie (P+) et U^-A = -U^A. On déduit de cette remarque et de 13) que si A vérifie (P-) alors U^A converge et L^A = -I_n.

15. a) On reprend à nouveau les notations de II 8) mais on suppose de plus que les E_i ont été ordonnés de telle façon que les h premiers soient associés à des valeurs propres situées dans ⁺ et les k - h derniers à des valeurs propres situées dans ^-. On note F = E₁ + + E_h et G = E_h+1 + + E_k.

Ainsi Ω^-1 AΩ = Diag(C,D) où C (resp. D) vérifie (P+) (resp. (P-)).

b) D’après 13) et 14), les suites U^C et U^D sont bien définies et tendent respectivement vers I_p et I_n-p où p est la dimension de F et n - p celle de G. Il en résulte que U^A est bien définie et que L^A = ΩDiag (I_p ,I_n-p)Ω^-1. Les valeurs propres de L^A sont 1 et - 1 avec pour multiplicités respectives p et n - p, où p (resp. n - p) est le nombre de valeurs propres de A de partie réelle strictement positive (resp. strictement négative).

V. Une méthode itérative conduisant au calcul de

16. Lister les valeurs propres d’une matrice M de _n(C) et leurs multiplicités revient à calculer χ_M , le polynôme caractéristique unitaire : χ_M(z) = det(zI_n - M).

Exprimons χ_B à l’aide de χ_A.

On part de : zI_2n - B = .

Multiplions à gauche par U = puis par V = .

Il vient : V U(zI_2n - B) = .

Le déterminant de V est (-1)ⁿε où ε est la signature du produit des n transpositions [n + i,i] pour 1 ≤ i ≤ n : detV = 1. Les formes triangulaires par blocs donnent detU = 1 et = det(z²I_n - A). On a montré : χ_B(z) = χ_A(z²).

Les valeurs propres de A sont α₁,α₂,…,α_k les valeurs propres de A, avec pour ordres de multiplicités n₁ , n₂,…,n_k. Ainsi : χ_B(z) = (z² - α_i)^n_i.

Chaque α_i est dans C \ R^- ; en appliquant la définition de la racine carrée définie sans ambiguïté dans 1), on obtient :

Les 2k nombres complexes ± sont distincts (deux d’entres eux sont opposés ou ont des carrés distincts). Les valeurs propres de B sont, pour i = 1,2,…,k, ± avec n_i pour ordre de multiplicité.

17. Pour tout i, est dans ⁺ et - est dans ^-. La matrice B vérifie (P) puisqu’elle ne possède aucune valeur propre imaginaire pure. Les conclusions de la partie IV s’appliquent : la suite U^B converge et, puisqu’il y a autant de valeurs propres de B dans ^- que dans ⁺, L^B est semblable à Diag(I_n,-I_n).

18. Commençons par deux préliminaires.

• Notons C [A] la sous-algèbre de _n(C) engendrée par A, ou algèbre de A ; ses éléments sont les R(A) où R est un polynôme complexe. Cette algèbre est de dimension finie et commutative. Notons C[A]^* l’ensemble des Y de C[A] qui sont inversibles dans _n(C).

  Montrons que si Y est dans C[A]^* alors Y ^-1 est dans C[A]. En effet l’application M Y M est linéaire et injective et stabilise C[A] ; comme C[A] est de dimension finie, elle induit une bijection de C[A] sur C[A] et il existe Z dans C[A] telle que Y Z = I_n  : Z n’est autre que Y ^-1.

• Soit M une matrice du type où M₁ et M₂ sont dans _n(C). Posons J_n = . La matrice J_n est inversible, son carré étant I_2n. On a MJ_n = Diag(M₁ , M₂). Ainsi M est inversible si et seulement si M₁ et M₂ sont inversibles. Dans ce cas (MJ_n)^-1 = Diag(M,M), puis M^-1 = J _nDiag(M,M) = .

Soit Y dans C [A]^*. Posons U = .

Les matrices Y et AY sont dans C[A]^*. La matrice U est inversible et
U^-1 = . Posons W = (AY )^-1 ; avec la commutativité dans C[A]^*, W = A^-1 Y ^-1 , et U^-1 = .

On déduit de ce calcul : (U + U^-1) = V où V = , avec Z = (Y + A^-1Y ^-1).

Ainsi, par récurrence sur l, on voit que les termes de la suite U^B s’écrivent U_l = , où la suite (Y _l ) est donnée par :

Tous les Y _l sont dans l’algèbre de A.

19. On sait que la suite U^B converge. Il en résulte que la suite (Y _l) converge et notons L sa limite. Ainsi L^B = . Comme C[A] est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, il est fermé ; les Y _l sont tous dans C[A] ; donc L est dans C[A]. En particulier LA = AL.

20. Plusieurs étapes dans cette question.

• (i) La matrice L est inversible et L^-1 est un élément de l’algèbre de A dont le carré est A. En effet, d’après IV 15), vu que B vérifie (P), L_B est une matrice semblable à une matrice diagonale dont les valeurs propres sont 1 et - 1. Ainsi L = I_n. Or (L^B )² =  ; donc AL² = I_n. Ainsi L est inversible ; L² = A^-1 puis (L^-1 )² = A. Comme L est dans C[A]^*, L^-1 est dans C[A].
• (ii) On doit montrer que L^-1 vérifie (P+).

  Ceci passe par la réduction simultanée des Y _l. Il existe un polynôme R_l tel que Y _l = R_l (A).

  Dans ce qui suit les notation T_x, Tʹ_x, S_x, Sʹ_x désignent des matrices triangulaires supérieures strictes.

  Avec les notations de II 8) : Ω^-1Y _lΩ = Diag(R_l(A₁),…,R_l(A_k)). Comme A_i = α_i I_ni + T_i , R_l(A_i) = R(α_i)I_ni + Tʹ_i.

  Ainsi : Ω^-1Y _lΩ = Diag(Y _l,1,…,Y _l,k) où pour tout i, Y _l,i = λ_l,iI_ni + Tʹ_l,i, pour certains complexes λ_l,i. Les λ_l,i sont toutes les valeurs propres de Y _l.

  D’après la définition par récurrence établie dans 18), Y _0,i = I_ni, puis Y _l+1,i = (Y _l,i+AY ). Ceci se traduit en particulier par :

  λ_i,0 = 1 ; pour tout l de N, λ_i,l+1 = .

  Posons pour tous i,l : μ_i,l = λ_i,l. La suite (μ_i,l)_l est donnée par :

  μ_i,0 =  ; puis, pour tout l de N, μ_i,l+1 = f(μ_i,l).

  Comme est dans ⁺, d’après III 11c), la suite (μ _i,l)_l tend vers 1.

  Donc la suite (λ)_l tend vers 1⁄.

  Il en résulte : Ω^-1LΩ = Diag(Lʹ₁,…,Lʹ_k) où Lʹ_i = (1⁄)I_ni + Sʹ_i. Puis : Ω^-1 L^-1 Ω = Diag(R_l(L₁),…,R_l(L_k)) où L_i = (I_ni + S_i). Les valeurs propres de L^-1 sont les et sont bien dans ⁺.

  Ainsi L^-1 est dans l’algèbre de A, de carré A et vérifie (P+).

• (iii) On montre à présent que L^-1 est la seule matrice vérifiant (P+) et dont le carré est A.

  Soit donc M une telle matrice. Comme M² = A elle commute avec A ; de ce fait elle stabilise KerR(A) pour tout polynôme R et en particulier chacun des E_i. Ainsi Ω^-1 MΩ = Diag(M₁,…,M_k) où pour tout i, M_i est une matrice carrée d’ordre n_i dont le carré est α_i I_ni + N_i. Toute valeur propre de M_i a pour carré α_i mais c’est une valeur propre de M ; comme M vérifie (P+), cette valeur propre est . Ainsi M_i possède comme unique valeur propre ; donc M_i = I_ni + H_i où H_i est nilpotente. La matrice H_i doit vérifier : 2H_i + H = T_i.

  Il reste à résoudre le problème suivant : dans _m(C) soit T une matrice nilpotente, il existe une seule matrice H nilpotente telle que H + H² = T . On appliquera ceci à m = n_i, H = 1⁄(2)H_i et T = 1⁄(4α_i)T_i.

  D’abord H^m = T^m = 0. Soit q un entier compris entre 1 et m- 1. On a : H^q(I_n + H)^q = T^q ; ceci se réécrit : H^q = T^q -(q i) H^q+i. En particulier H^m-1 = T^m-1. Supposons acquis, pour q + 1 ≤ i ≤ m - 1, Hⁱ = TⁱR_i(T) où R_i est un polynôme. Alors H^q = T^q R_q(T), où R_q = 1 -(q i) R_q+i. Ainsi, avec la récurrence descendante, on prouve l’existence d’un polynôme R tel que H = TR(T). Ce polynôme R est R₁, où (R_q) est la suite telle que R_m-1 = 1, puis R_q = 1 - qR_q+i --( q m-q-1) R_m-1. La définition de R dépend de la taille m mais pas de T . Il y a donc unicité de H.

  On a montré, pour le problème considéré, l’unicité des matrices M_i, puis celle de M.

21. Notons _n (resp. _n) l’ensemble des matrices symétriques réelles (resp. hermitiennes) d’ordre n. Ces deux ensembles sont des R-sous-espaces vectoriels de _n(C). De plus si M et H sont dans _n (resp. _n ) et commutent, alors MH est dans _n (resp. _n) ; si M est inversible et dans _n (resp. _n ), il en est de même de M^-1.

Soit A une matrice hermitienne définie positive. Comme ses valeurs propres sont des réels strictement positifs, elle vérifie (Q) ; l’existence de au sens de 20) est assurée ; ses valeurs propres sont de partie réelle strictement positive.

L’inverse L de est la limite de la suite (Y _l)_l construite dans 18).

La matrice Y ₀ , qui est I_n, est hermitienne. Supposons Y _l hermitienne ; alors, puisque Y _l commute avec A, AY _l est hermitienne ; l’inverse de AY _l aussi ; la demi-somme de Y _l et de (AY _l )^-1 aussi et Y _l+1 est hermitienne. On a ainsi établi par récurrence que tous les Y _l sont hermitiennes.

Comme _n est un sous-R-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, la limite L de (Y _l ) est hermitienne ; son inverse aussi ; les valeurs propres sont à la fois réelles et dans ⁺  : elles sont réelles strictement positives donc est hermitienne définie positive.

On peut dans tout ce qui précède remplacer ≪ hermitienne ≫ par ≪ symétrique réelle ≫. Donc si A est symétrique réelle définie positive, il en est de même de .

VI. Projection orthogonale sur le groupe orthogonal

L’espace R ⁿ est euclidien, le produit scalaire étant donné par : (x|y) = t xy.

L’espace _n (R ) est euclidien, le produit scalaire étant donné par :
< M, L >   =  Trt ML.

22. Les matrices P de _n(R) sont celle qui vérifient t PP = I_n. La matrice I_n est orthogonale ; _n (R ) n’est donc pas vide.

Toute matrice orthogonale vérifie < P,P >   = n ; étant inclus dans la sphère de centre 0 et de rayon , _n(R) est borné.

L’application Pt PP est continue : _n(R), l’image réciproque d’un singleton par cette application, est fermé.

Ainsi _n (R ) est un compact non vide.

23. Dans un espace métrique (E,d), K étant un compact non vide et a un point, il existe au moins b de K qui minimise xd(a,x);x K. On applique pour cela le principe du minimum à la fonction x d(a,x) (qui est continue).

Ici l’application (M,L) est la distance (euclidienne) dans _n(R) et _n(R) est un compact non vide. Minimiser revient à minimiser N(M - L). Il y a bien existence de P₀ dans _n (R ) tel que N(M - P₀) ≤ N(M - P) pour toute matrice orthogonale P.

24. Les équivalences entre elles des trois assertions se déduisent des égalités :

N(M - P) - N(M - P₀) = 2(< P₀,M > - < P,M >) = N(M + P₀) - N(M + P).

Ainsi minimiser PN(M - P) revient à maximiser P < M,P >.

25. La matrice M est orthogonalement semblable à une matrice D diagonale à éléments strictement positifs. Résolvons d’abord le problème pour une telle matrice D.

Pour toute matrice orthogonale P , < P,D >   = P[i,i]D[i,i]. Tous les P[i,i] sont majorés par 1, donc < P, D >   ≤   < I_n,D >. L’égalité revient à : P[i,i] = 1 pour tout i ce qui force P[i, j] = 0 pour tous i≠j (puisque la somme P[i,j]² vaut 1). Ainsi I_n est la seule matrice orthogonale maximisant P < P,D >.

On utilisera dans la suite une propriété d’invariance de < A,B > par multiplication par une matrice orthogonale Q à gauche ou à droite : < QA,QB >   =   < AQ,BQ >   =   < A,B >.

Preuve directe : < QA,QB >= Tr(tAt QQB >=< A,B > car t QQ = I_n ; < AQ, BQ >= Tr(t QABQ) = Tr(Qt QAB) =< A,B > car Qt Q = I_n.

Revenons à la matrice initiale M. Il existe une matrice orthogonale Q telle que M = QDt Q où D est diagonale à éléments strictement positifs.

Pour tout matrice orthogonale P :

< P, M >   =< P,QDt Q >   =   < t QP,Dt Q >   =   < t QPQ,D >   =   < R,D > où R est la matrice t QPQ, qui est orthogonale.

Ainsi < P, M >   ≤   < I_n,D > avec égalité si et seulement si t QPQ = I_n ; ceci revient à P = I_n . De plus < I_n,D >   =  Tr(D) = Tr(M) =   < I_n,M >.

Ainsi I_n est la seule matrice orthogonale maximisant PTr(t PM).

26. On note (E_i,j) la base canonique de _n(R). La matrice M est telle que < P, M >   ≤   < I_n,M > pour toute matrice orthogonale P .

a) Une matrice de rotation plane s’écrit, pour certains indices u,v distincts,
P = I_n - (1 - cosθ)(E_u,u + E_v,v) + sinθ(E_v,u - E_u,v).

On en tire :

< P, M > - < I_n,M >= sinθ(M[v,u] - M[u,v]) - (1 - cosθ)(M[u,u] + M[v,v]).

Si M n’est pas symétrique, il existe u,v distincts tels que M[v,u] -M[u,v] est strictement positif. Le second membre de l’égalité est une fonction de θ qui est nulle en 0 et dont la dérivée en 0 est M[v, u] - M[u, v]. Il existe donc θ > 0 assez petit pour que
< P, M > - < I_n,M > soit strictement positif. Ainsi M est symétrique.

b) (i) Pour tout x tel que (v|x) = 0, P_v(x) = 0 ; de plus P_v(v) = v - 2v = -v car t vv = (v|v) = 1. Ainsi P_v est orthogonale puisque c’est la symétrie par rapport à l’hyperplan orthogonal de v.

(ii) Calculons : < P_v,M >   =   < I_n,M > -2 < vt v,M >. Or < vt  v, M >   = Tr(vt vM) = Tr(t vMv) = (v|Mv) (la trace d’un scalaire lui est égale).

Ainsi < I_n , M > - < P_v,M >= 2(v|Mv).

c) Comme < P,M >   ≤   < I_n,M > pour toute P orthogonale, (v|Mv) ≥ 0 pour tout vecteur unitaire v ; on en déduit (x|Mx) ≥ 0 pour tout vecteur x. Ainsi M est positive.

d) Soit v non nul tel que Mv = 0. Quitte à faire une homothétie sur v, on peut le supposer unitaire. Alors < I_n , M >   =   < P_v,M > ; I_n n’est donc pas la seule matrice orthogonale maximisant P   < P,M >. Par contraposition M est symétrique et inversible donc définie positive.

27. a) La matrice M étant inversible, t MM est symétrique réelle définie positive ; d’après 21), est une matrice symétrique réelle définie positive que l’on note H. Posons Q₀ = MH^-1. Calculons : t  Q₀ Q₀ = H^-1t MMH^-1 = H^-1H²H^-1 = I_n. On vient de montrer que Q₀ est orthogonale.

b) Pour une matrice orthogonale Q :

< Q, M >   =   < t Q₀Q,t Q₀M >   =   < t Q₀Q,H >.

Mais H est symétrique réelle définie positive et t Q₀Q est orthogonale, donc
< Q, M >   ≤   < I_n,H > avec égalité si et seulement si t Q₀Q = I_n, soit Q = Q₀.

On a montré l’unicité du projeté orthogonal de M sur _n(R), ce projeté étant M()^-1.

28. Soit v un vecteur unitaire. L’identité < I_n,M > - < P_v,M >   = 2(v|Mv) vue en 26b) pour M symétrique est en fait vraie pour toute matrice.

Comme M n’est pas inversible, il existe v unitaire tel que Mv = 0.

Soit P₀ une matrice maximisant < P,M > sur l’ensemble des matrices orthogonales.

On transforme : < P₀ , M >   =   < I_n,t P₀M >   =   < P_v,t P₀M > +2(v|tP₀Mv) =   < P_v,t P₀M >   =   < P₀P_v,M >.

Ainsi P₀ P_v est une autre matrice orthogonale qui minimise la distance de M au groupe orthogonal. Il y a toujours unicité de la projection orthogonale de M sur (n, R) quand M est inversible, jamais quand elle ne l’est pas.

VII. Projection orthogonale sur le groupe unitaire

Le préambule qui suit n’a aucune utilité pour la résolution de cette partie ; il ne fait que renseigner sur la démarche. L’espace vectoriel complexe (n, C) est muni du produit hermitien donné par < A, B >   =  Tr(A^*B). La distance hermitienne entre les matrices A et B est . Le groupe unitaire (n, C) est un compact non vide. Pour tout M de (n, C) il existe au moins une matrice unitaire V ₀ qui minimise V N(M - V ) sur (n, C). Mais N(M - V ) - N(M -V ₀) = 2Re(< V ₀,M >) - 2Re(< V,M >). Il revient au même de dire que V ₀ maximise V Re(< V,M >).

29. La matrice tA₀ est antihermitienne : (tA₀)^* = -tA₀. Pour toute matrice carrée complexe M, (e^M )^* = e^M*  ; e^M est inversible, son inverse étant e^-M. On déduit de tout ceci : (e^tA₀ )^* = (e^tA₀ )^-1. C’est dire que e^tA₀ est une matrice unitaire.

Comme V ₀ est unitaire, γ(t) = V ₀e^tA₀ est unitaire pour tout t.

Pour toute M, te^tM est indéfiniment dérivable, sa dérivée étant tMe^tM.

On en déduit que γ est indéfiniment dérivable, et γ^(p)(0) = V ₀A pour tout entier naturel p.

30. On aura besoin pour b) de précisions sur les matrices hermitiennes et antihermitiennes. Tout d’abord A est antihermitienne si et seulement si A = iH où H est hermitienne. D’autre part toute matrice carrée complexe M se décompose de façon unique H + A où H est hermitienne et A antihermitienne : H = (M + M^*) ; A = (M - M^*). En réunissant ces deux résultats on voit que M se décompose de façon unique : M = H₁ + iH₂ où H₁ et H₂ sont hermitiennes.

Pour toutes matrices H₁ et H₂ hermitiennes d’ordre n, < H₁,H₂ > est un nombre réel ; en effet < H₁ , H₂ >  =   < H₂,H₁ > et dans ce cas < H₁,H₂ >   = Tr(H₁H₂) = Tr(H₂H₁).

a) Avec les notations de 29), nécessairement : tη(γ(t)) se maximise en 0 ; il y présente donc un maximum local. Toujours nécessairement : (η • γ)ʹ(0)) = 0 et (η • γ)ʹʹ(0)) ≤ 0. Comme η est linéaire, η(γʹ(0)) = 0 et η(γʹʹ(0)) ≤ 0. Ainsi Re(< M,V ₀A₀ >)  = 0 et Re(< M, V ₀ A >)  ≤ 0. Ce sont les relations i) et ii) annoncées.

b) Notons L la matrice V M. Produit de deux matrices inversibles, L est inversible.

On a < M, V ₀ K >   =   < L,K > pour toute matrice K de _n(C).

D’après a) : Re (< L,A >) = 0 et Re(< L,A² >) ≤ 0 pour toute matrice antihermitienne A. Cela revient à : Im(< L,H >) = 0 et Re(< L,H² >) ≥ 0 pour toute matrice hermitienne H.

Décomposons : L = H₁ + iH₂ où H₁ et H₂ sont hermitiennes. Les conditions précédentes deviennent, avec la réalité de < K,Kʹ > quand K et Kʹ sont hermitiennes : < H₂,H >   = 0 et < H₁ , H² >   ≥ 0 pour toute H hermitienne.

En choisissant H = H₂ il vient < H₂,H₂ >   = 0 donc H₂ = 0. Ainsi L = H₁ : L est hermitienne.

Soit u un vecteur unitaire. La matrice uu^* est une matrice hermitienne H qui représente la projection orthogonale sur Cu car uu^*x = 0 si u^*x = 0 (i.e. x est orthogonal à u) et uu^*u = u. En particulier H² = H.

Par conséquent, pour tout u unitaire, < L,uu^* >   ≥ 0.

Or < L, uu* >   = Tr(Luu^*) = Tr(u^*Lu) = u^*Lu. Dans le cas particulier d’un vecteur propre unitaire u, u^* Lu est la valeur propre associée à u. Ainsi toute valeur propre de L est positive et L est hermitienne positive.

On a supposé M inversible ; on en déduit que L est inversible. Finalement L est définie positive. Ainsi M = V ₀ L où L est hermitienne définie positive.

31. Gardons les notations de 30b). Nécessairement M^*M = LV V ₀L = L². Comme L est hermitienne définie positive, la seule possibilité est L = et V ₀ = M()^-1.

Le problème d’unicité est résolu. Le problème d’existence se résout en remarquant qu’il s’agit de la distance d’un point à un compact non vide dans un espace métrique, le compact en question étant U(n, C ).
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