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Première preuve 2017

7037Racine carrée d’une matrice complexe

xistence et unicité pour une matrice carrée complexe A sans valeur propre réelle négative de , racine carrée de A dont toute valeur propre est de partie réelle strictement positive. Preuve d’appartenance de à l’algèbre de A. Mise en place d’une méthode itérative de calcul de . Projection orthogonale d’une matrice carrée réelle sur le groupe orthogonal, d’une matrice carrée complexe sur le groupe unitaire.

Préambule : notations et rappels

On désigne par N l’ensemble des entiers naturels. On désigne par R le corps des nombres réels, C le corps des nombres complexes et K l’un de ces deux corps lorsqu’on ne souhaite pas le préciser.

On désigne par R ⁺ l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls, et par R^- l’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls.

Soit n un entier naturel non nul. On note _n(K) la K-algèbre des matrices (n,n) à coefficients dans K et I_n la matrice identité dans _n(K). On note GL_n(K) l’ensemble des matrices inversibles dans _n (K ).

Sur _n (K ), on note Tr l’application trace.

Soit M une matrice dans _n(K). On note Sp(M) le spectre de M, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres complexes de M.

Soit M dans _n (K) ; on note t M sa matrice transposée. Lorsque K = C, on note M^* sa matrice adjointe, i.e. M^* = t M.

On rappelle qu’une matrice M symétrique dans _n(R) ou hermitienne dans _n(C) est dite positive (respectivement définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles (respectivement strictement positives).

On note U_n (K ) l’ensemble des matrices M dans _n(K) telles que M^*M = I_n. Ainsi U_n(R) désigne le groupe orthogonal et U_n(C) le groupe unitaire.

On rappelle que U_n(R) contient les matrices P (dites de rotation plane) définies, pour (i₀,j₀) tel que 1 ≤ i₀ < j₀ ≤ n et θ R, de la façon suivante :

Dans tout le problème, on considère les sous-ensembles de C suivants :

⁺ est le demi-plan ouvert des nombres complexes de partie réelle > 0  ;
^- le demi-plan ouvert des nombres complexes de partie réelle < 0  ;
le disque unité ouvert de C, c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes de module < 1.

Pour tout nombre complexe z, on note Re(z) sa partie réelle.

Préliminaires

1. Soit z un nombre complexe qui n’est pas un nombre réel négatif ou nul (z C \ R^-). Démontrer qu’il existe un unique nombre complexe dans ⁺ noté , tel que ()² = z.

2. Soit g la fonction de la variable complexe z définie sur C \{-1} par :

a) Démontrer que g(⁺) ⊂.

b) Démontrer que g réalise une bijection de ⁺ sur . Expliciter la bijection inverse.

3. On définit sur _n(R) l’application N en posant, pour M dans _n(R),

a) Soit M dans _n(R) telle que M = (m_i,j). Justifier que ^tMM est une matrice symétrique positive, qui est définie positive si M est inversible.

b) Justifier que N est le carré d’une norme euclidienne sur _n(R). Expliciter le produit scalaire euclidien < , > défini par :

4. Expliciter un produit hermitien sur _n(C) tel que la norme associée, notée Nʹ, vérifie :

Partie I

5. Soit L une matrice dans _n(K) telle que L² = I_n.

a) Démontrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels F et G de Kⁿ tels que :

• Kⁿ= F ⊕ G ;
• ∀x F, Lx = x ;
• ∀x G, Lx = -x.

b) Démontrer que Tr(L) = dimF - dimG.

6. Soit _n l’ensemble des matrices L dans _n(K) telle que L² = I_n. On définit sur _n la relation ~ par :

a) Démontrer que ~ est une relation d’équivalence sur _n.

b) Soient L et M deux matrices dans _n. Démontrer que :

c) Justifier que la relation ~ n’a qu’un nombre fini de classes d’équivalence. Déterminer ce nombre.

Partie II

Soit n un entier naturel non nul. Soit A une matrice dans _n(C) telle que le spectre de A, p(A), est contenu dans . On se propose de démontrer qu’alors la suite (A^l)_lN converge dans _n(C) vers la matrice nulle.

7. On suppose que A admet une unique valeur propre α. On pose B = A - αI_n.

a) Justifier que Bⁿ = 0.

b) Soit l un entier naturel non nul. Exprimer A^l en fonction de I,B,...,B^n-1.

c) En déduire que la suite (A^l)_lN converge dans _n(C) vers la matrice nulle.

8. Dans le cas général, démontrer que la suite (A^l)_lN converge dans _n(C) vers la matrice nulle.

Partie III

Soit f la fonction définie sur C^* par f(z) = .

Pour α dans C ^* , on considère la suite récurrente u^α = (u_l)_lN définie par :

Lorsque la suite u^α est bien définie (c’est-à-dire si u_l est défini pour tout entier naturel l) et que de plus elle converge dans C, sa limite est notée s^α.

9. Donner une valeur non nulle de α telle que la suite u^α n’est pas bien définie.

10. Soit α un nombre réel non nul. Démontrer que la suite u^α = (u_l)_lN est bien définie. tudier la monotonie de la suite u^α et démontrer qu’elle converge. Expliciter la valeur de s^α en fonction de α.

11. a) Justifier que les demi-plans ⁺ et ^- sont stables par f. En déduire que si α n’est pas un imaginaire pur, la suite u^α = (u_l)_lN est bien définie.

b) Soit β un nombre complexe de module différent de 1. Pour tout entier naturel l, on pose :

Justifier que w_l+1 = f(w_l). Démontrer que la suite (w_l)_lN converge et déterminer sa limite.

c) On suppose que α n’est pas un imaginaire pur. Justifier que la suite u^α = (u_l)_lN converge. Expliciter la valeur de s^α en fonction de α.

Partie IV

Soit n un entier naturel tel que n ≥ 2.

Soit A une matrice inversible dans _n(C). On note p(A) le spectre de A, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres de A. On s’intéresse dans le problème à l’éventuelle limite de la suite U^A = (U_l )_lN définie par :

lorsque celle-ci est bien définie (c’est-à-dire si U_l est défini pour tout entier naturel l). Lorsque la suite U^A admet une limite, celle-ci est notée L^A.

12. On suppose, dans cette question seulement, la matrice A diagonalisable. On suppose de plus que son spectre p(A) satisfait la propriété :

a) Démontrer que la suite récurrente U^A = (U_l)_lN est bien définie.

b) Démontrer que la suite récurrente U^A converge. Justifier que L^A est une matrice diagonalisable telle que ² = I_n.

c) Démontrer que la suite _lN converge vers un nombre entier qu’on explicitera en fonction des valeurs propres de A.

13. On suppose ici que la matrice A vérifie la propriété :

a) Justifier que la matrice vérifie la propriété (P+). En déduire que la suite U^A = (U_l )_lN est bien définie et que chacune des matrices U_l vérifie la propriété (P+).

b) Soit α une valeur propre de la matrice (A-I_n)(A + I_n)^-1. Démontrer qu’il existe β une valeur propre de A telle que g(β) = α (où g est la fonction définie dans les préliminaires).

c) Démontrer que, pour tout entier naturel l,

En déduire l’expression de (U_l+1 -I_n)(U_l+1 + I_n)^-1 en fonction de la matrice (A-I_n)(A + I_n)^-1.

d) Justifier que la suite _lN converge dans _n(C) vers la matrice nulle.

e) En déduire la convergence de la suite U^A = (U_l)_lN. Expliciter L^A.

14. Lorsque la matrice A vérifie la propriété :

justifier la convergence de la suite U^A = (U_l)_lN et expliciter L^A.

15. On suppose ici que la matrice A vérifie la propriété :

a) On suppose de plus dans cette question que la matrice A ne vérifie ni la propriété (P+) ni la propriété (P-) . Démontrer qu’il existe une matrice inversible P et deux matrices carrées C et D telles que :

b) En déduire la convergence de la suite U^A = (U_l)_lN. Expliciter les valeurs propres de L^A .

Partie V

Soit A une matrice dans _n(C). On suppose dans cette partie que la matrice A vérifie la propriété :

On définit la matrice B dans _2n(C) en posant :

16. Déterminer les valeurs propres de la matrice B en fonction des valeurs propres de A. On précisera leurs multiplicités en fonction des multiplicités des valeurs propres de A.

17. Justifier que la matrice B vérifie la propriété (P) (définie dans la partie IV) et en déduire que la suite U^B converge.

18. Démontrer que les termes de la suite U^B vérifient :

19. En déduire qu’il existe une matrice L dans _n(C) telle que :

Démontrer de plus que L est un polynôme en A.

20. Démontrer qu’il existe une unique matrice notée qui vérifie la propriété (P+) et telle que :

21. Lorsque A est une matrice réelle symétrique (respectivement une matrice complexe hermitienne) définie positive, justifier l’existence de et démontrer que est une matrice réelle symétrique (respectivement une matrice complexe hermitienne) définie positive.

Partie VI

Dans cette partie, K = R.

22. Justifier que U_n(R) est un compact de _n(R).

23. Soit M dans _n(R). Démontrer qu’il existe une matrice P₀ dans U_n(R) telle que :

où N est l’application définie dans les préliminaires.

24. Soit M dans _n(R). Soit P₀ une matrice dans U_n(R). Démontrer l’équivalence des assertions :

• ∀P U_n (R),N(M - P₀) ≤ N(M - P);
• ∀P U_n (R),Tr(^tPM) ≤ Tr(^tP₀M);
• ∀P U_n (R),N(M + P) ≤ N(M + P₀).

25. Soit M dans _n(R) symétrique définie positive. Justifier que la seule matrice P₀ dans U_n(R) réalisant : ∀P U_n(R),N(M -P₀) ≤ N(M -P), est P₀ = I_n. On pourra exprimer, pour P dans U_n (R ), Tr (^t PM) sur une base bien choisie.

26. Réciproquement, soit M dans _n(R) telle que : ∀P U_n(R),N(M -I_n) ≤ N(M -P).

a) On suppose M non symétrique. Justifier qu’il existe une matrice de rotation plane (dont la définition est rappelée dans le préambule) P telle que Tr(PM) > Tr(M). En déduire que M est symétrique.

b) Soit v un vecteur de Rⁿ de norme 1. On note P_v la matrice I_n - 2v^tv.

• Démontrer que P_v U_n(R).
• Démontrer que Tr(P_vM) = Tr(M) - 2 < v,Mv > où < , > désigne ici le produit scalaire canonique de Rⁿ.

c) Démontrer que M est symétrique positive.

d) Soit M dans _n(R) telle que la seule matrice P₀ dans U_n(R) réalisant : ∀P U_n(R), N(M - I_n ) ≤ N(M - P), est P₀ = I_n. Démontrer que M est symétrique définie positive.

27. Soit M inversible dans _n(R).

a) Justifier qu’il existe une matrice Q₀ dans U_n(R) telle que : M = Q₀ (cf. question 21).

b) Démontrer qu’une telle matrice Q₀ est l’unique matrice P₀ dans U_n(R) qui vérifie : ∀P U_n (R ), N(M - P₀) ≤ N(M - P).

28. Pourrait-on avoir l’unicité d’un tel P₀ lorsque la matrice M n’est pas inversible ?

Partie VII

29. Soient A₀ et V ₀ deux matrices dans _n(C) telles que A₀ est une matrice antihermitienne et V ₀ une matrice unitaire. Soit γ l’application définie par :

Démontrer que γ est une application de classe ^∞ de R à valeurs dans U_n(C). Expliciter γ(0), γʹ(0) et γʹʹ (0).

30. Soit M inversible dans _n(C) . Soit η l’application définie par :

Soit V ₀ un maximum local de l’application η.

a) Soit A₀ une matrice antihermitienne dans _n(C). Justifier que :

• Re = 0  ;
• Re≤ 0.

b) En déduire que M^*V ₀ est une matrice hermitienne définie positive.

31. Soit M inversible dans _n(C) . Justifier qu’il existe une unique matrice V ₀ dans U_n(C) telle que M = V ₀ .

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